Xác định m để phương trình y' = {m^2} - mcó đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;m] biết y=x^3/3-3/2x^2+4x+2017

Ta có \(y' = {m^2} - m \Leftrightarrow f(x) = {x^2} - 3x + 4 - {m^2} + m = 0\,(*)\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} - 3x + 4 - {m^2} + m\)

\(f'(x) = 2x - 3;f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)

Vậy hàm số đạt cực trị tại  \(x = \frac{3}{2}.\)

Do hệ số của \(x^2\) dương nên đồ thị hàm số \(f(x) = {x^2} - 3x + 4 - {m^2} + m\) có dạng:

Suy ra để phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn [0;m] thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(0) > 0}\\ {f(m) > 0}\\ {f\left( {\frac{3}{2}} \right) < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - {m^2} > 0}\\ { - 2m + 4 > 0}\\ { - {m^2} + m + \frac{7}{4} < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} < m < 2\)