Với mọi \(n \in N^*\), dãy số (un) nào sau đây không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân?

Xét dãy số (u_n) trong phương án A, ta có

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2017\left( {n + 1} \right) + 2018} \right] - \left( {2017n + 2018} \right) = 2017\) với mọi \(n \in N^*\).

Vậy dãy số này là một cấp số cộng.

Xét dãy số (u_n) trong phương án B, ta có

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{\left( {\frac{{2017}}{{2018}}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {\frac{{2017}}{{2018}}} \right)}^n}}} = - \frac{{2017}}{{2018}}\) với mọi \(n \in N^*\).

Vậy dãy số này là một cấp số nhân.

Xét dãy số (u_n) trong phương án C, ta có

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{{{u_n}}}{{2018}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{2018}}\) với mọi \(n \in N^*\).

Vậy dãy số này là một cấp số nhân.

Xét dãy số (u_n) trong phương án D, ta có

\(\begin{array}{l} {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {2017{u_n} + 2018} \right) - \left( {2017{u_{n - 1}} + 2018} \right) = 2017\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2017^2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2017^3}\left( {{u_{n - 2}} - {u_{n - 3}}} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,...\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2017^{n - 1}}\left( {{u_2} - {u_1}} \right) = {2017^{n - 1}}\left[ {\left( {2017 + 2018} \right) - 1} \right] = {2.2017^n} \end{array}\)

Vậy dãy số này không phải là cấp số cộng.

Mặt khác, ta có

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{2017{u_n} + 2018}}{{{u_n}}} = 2017 + \frac{{2018}}{{{u_n}}}\).

Tỷ số này thay đổi khi u_n thay đổi nên dãy (u_n) không là cấp số nhân.