Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm \(A\left( {--1;2} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :x + 3y + 5 = 0\).

a) Vì \(d \bot \Delta  \Rightarrow {\overrightarrow n _d} = {\overrightarrow u _\Delta } = \left( {3; - 1} \right)\)

Phương trình đường thẳng d: \(3\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 5 = 0\)

b) Ta có (C) tiếp xúc với \(\Delta\) nên:

\(R = d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {10} \)

Vậy phương trình đường tròn (C): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10\)

c) Gọi tọa độ điểm \(M\left( { - 3t - 5;t} \right) \in \Delta \)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow OA = \sqrt 5 ,{\overrightarrow n _{OA}} = \left( {2;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng OA: 2x + y = 0

Ta có \({S_{OAM}} = \frac{1}{2}OA.d\left( {M;OA} \right) = 4 \Leftrightarrow d\left( {M;OA} \right) = \frac{8}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy \(M\left( {\frac{{29}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( { - \frac{{19}}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\)