Tìm số phức z biết z.ar z = 29, {z^2} =  - 21 - 20i, phần ảo z là một số thực âm.

Đặt \(z = a + ib\left( {a,b \in \mathbb{R},b < 0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\bar z = a - bi \Rightarrow z.\bar z = {a^2} + {b^2} = 29\left( 1 \right)\\{z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi =  - 21 - 20i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} =  - 21\,\left( 2 \right)\\2ab =  - 20\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

(1) trừ (2), ta có \(2{b^2} = 50\) mà \(b < 0\) nên \(b =  - 5\)

Thay \(b =  - 5\) vào (3) ta được \(a = 2\)

Vậy \(z = 2 - 5i.\)