Người ta dự định trồng hoa trang trí trên một mảnh đất hình tròn bằng hai loại hoa hồng và hoa lan

Xét hệ trục toạ độ Oxy sao cho elip có phương trình chính tắc là:

\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow y =  \pm 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} .\)

Diện tích trồng hoa là: \(S = 2\int\limits_{ - 4}^4 3 \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} dx.\)

Đặt x = 4 sin t

Đổi cận x = -4 sao cho \(t =  - \frac{\pi }{2};x = 4\) sao cho \(t = \frac{\pi }{2}\)

Khi đó: \(dx = 4\cos t\,dt;\,\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}}  = c{\rm{ost}}{\rm{.}}\)

\(S = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {24\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}} t\,dt = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {12(1 + c{\rm{os}}2t} )dt = \left. {12\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 12\pi \,\,({m^2}).\)

Diện tích mảnh đất hình tròn là: \(\pi {.4^2} = 16\pi \,\,({m^2}).\)

Vậy diện tích đất trồng lan là: \(16\pi \, - \,12\pi  = 4\pi \,({m^2})\)