Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng \(4\pi\). Diện tích của tam giác đều ABC là:

Gọi R là bán kính của đường tròn (O).  Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng 4π nên ta có \(C=2πR=4π+4π+4π=12π\) , suy ra R=6 hay \(OA=OB=OC=6\)

Ta cũng có \( \widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = {120^0}\)

suy ra \( \Delta AOB = \Delta AOC = \Delta BOC = \frac{1}{3}\Delta ABC\)

Xét tam giác AOC có: 

\({\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} \widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {30^0}\\ \widehat {COA} = {120^0} \end{array} \right.\)

Kẻ đường cao OE , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc \( \widehat {COA}\)

Ta có: \( \widehat {AOE} = \widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}\)

Xét tam giác COE có: \({\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} \widehat {ECO} = {30^0}\\ \widehat {CEO} = {90^0} \end{array} \right. \to OE = \frac{1}{2}CO = \frac{R}{2}\)

Áp dụng định lý Pytago ta có: \( CE = \sqrt {O{C^2} - O{E^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Vậy \( {S_{COE}} = \frac{1}{2}OE.CE = \frac{1}{2}.\frac{R}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}R = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{R^2}\)

Suy ra  \( {S_{COA}} = 2{S_{COE}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{R^2}\) và \( {S_{ABC}} = 3{S_{COA}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^2} = 27\sqrt 3 c{m^2}\)