Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong \(\left[ -2020;2020 \right]\) để phương trình \(\log \left( mx \right)=2\log \left( x+1 \right)\) có nghiệm duy nhất?

Phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l} mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x\left( {2 - m} \right) + 1 = 0\left( 1 \right)\\ x > - 1 \end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm duy nhất trong \(\left( -1;+\infty  \right).\)

Trường hợp 1. (1) có nghiệm kép \(\Delta = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 4 \end{array} \right..\)

Thử lại: \(m=0\) thì phương trình có nghiệm \(x=-1,\) loại;

             \(m=4\) thì phương trình có nghiệm \(x=1,\) thỏa mãn;

Trường hợp 2. (1) có nghiệm là \(-1\Leftrightarrow {{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( -1 \right)\left( 2-m \right)+1=0\Leftrightarrow m=0.\)

Thử lại thấy không thỏa mãn.

Trường hợp 3. (1) có 2 nghiệm là \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và \({{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 4m > 0\\ {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 4\\ m < 0 \end{array} \right.\\ 1 + m - 2 + 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0.\)

Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số \(m.\)