Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C.

1) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

Chứng minh \(\widehat {DAN} = \widehat {BAM}\)

Chứng minh \(\Delta\) ADN = \(\Delta\)ABM (g.c.g)

       => AN = AM (hai cạnh tương ứng)

    - Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) và \(\widehat {MAN} = 9{0^o}\) (giả thiết)

      => Tam giác AMN vuông cân tại A

*) Chứng minh AN² = NC . NP

    - Tam giác AMN cân tại A (chứng minh trên) và AP \( \bot \) MN (giả thiết)

      => AP là tia phân giác của \(\widehat {MAN} \Rightarrow \widehat {NAP} = \widehat {MAP} = \frac{1}{2}\widehat {MAN} = 4{5^o}\)

- Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) => \(\widehat {ACD} = 4{5^o}\)  hay \(\widehat {ACN} = 4{5^o}\)

    - Chứng minh \(\Delta \)ACN ∽ \(\Delta \)PAN  (g.g)

       => \(\frac{{AN}}{{PN}} = \frac{{CN}}{{AN}} =  > A{N^2} = NP.NC\)

2) Chứng minh PM = PN

    - Chu vi tam giác CMP là :

          CM + MP + CP

      = CM + PN + CP (vì MP = NP)

      = CM + PD + DN + CP

      = (CP + PD) + (BM + CM)        (BM = DN vì \(\Delta \) ADN = \(\Delta \)ABM)

      = CD + CB = 2BC

    - Chu vi hình vuông ABCD bằng 4BC

    => Tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD là : \(\frac{{2BC}}{{4BC}} = \frac{1}{2}\)

3) Tam giác ANQ vuông tại A, có đường cao AD

=> AN.AQ = AD.NQ (=2S_ABC)

=> \(\frac{1}{{AD}} = \frac{{NQ}}{{AN.AQ}} =  > \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{{N{Q^2}}}{{A{N^2}.A{Q^2}}}\)

    Do hình vuông ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi

=>\(\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}}\)  không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC.