AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD).

        1. Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP

        2. Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD.

        3. Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng \(\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}\) không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.

    Lời giải tham khảo:

    1) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

    Chứng minh \(\widehat {DAN} = \widehat {BAM}\)

    Chứng minh \(\Delta\) ADN = \(\Delta\)ABM (g.c.g)

           => AN = AM (hai cạnh tương ứng)

        - Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) và \(\widehat {MAN} = 9{0^o}\) (giả thiết)

          => Tam giác AMN vuông cân tại A

    *) Chứng minh AN2 = NC . NP

        - Tam giác AMN cân tại A (chứng minh trên) và AP \( \bot \) MN (giả thiết)

          => AP là tia phân giác của \(\widehat {MAN} \Rightarrow \widehat {NAP} = \widehat {MAP} = \frac{1}{2}\widehat {MAN} = 4{5^o}\)

    - Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) => \(\widehat {ACD} = 4{5^o}\)  hay \(\widehat {ACN} = 4{5^o}\)

        - Chứng minh \(\Delta \)ACN ∽ \(\Delta \)PAN  (g.g)

           => \(\frac{{AN}}{{PN}} = \frac{{CN}}{{AN}} =  > A{N^2} = NP.NC\)

    2) Chứng minh PM = PN

        - Chu vi tam giác CMP là :

              CM + MP + CP

          = CM + PN + CP (vì MP = NP)

          = CM + PD + DN + CP

          = (CP + PD) + (BM + CM)        (BM = DN vì \(\Delta \) ADN = \(\Delta \)ABM)

          = CD + CB = 2BC

        - Chu vi hình vuông ABCD bằng 4BC

        => Tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD là : \(\frac{{2BC}}{{4BC}} = \frac{1}{2}\)

    3) Tam giác ANQ vuông tại A, có đường cao AD

    => AN.AQ = AD.NQ (=2SABC)

    => \(\frac{1}{{AD}} = \frac{{NQ}}{{AN.AQ}} =  > \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{{N{Q^2}}}{{A{N^2}.A{Q^2}}}\)

        Do hình vuông ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi

    =>\(\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}}\)  không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC.

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA