AMBIENT
  • Câu hỏi:

    a) Giải phương trình nghiệm nguyên: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{2xy}} = \frac{1}{2}\)      

    b) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y \( \ge \) 10.

            Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :  \(P = 2x + y + \frac{{30}}{x} + \frac{5}{y}\)

    Lời giải tham khảo:

    a) ĐKXĐ : x, y khác 0

    => 2y + 2x + 1 = xy

    <=> xy - 2x - 2y - 1 = 0

    <=> x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0

     <=> (y - 2)(x - 2) = 5

          Vì x, y \( \in \) Z => x - 2, y - 2 \( \in \) Z. Do đó ta có bảng giá trị :

    x - 2

    1

    5

    -1

    -5

    y - 2

    5

    1

    -5

    -1

    x

    3

    7

    1

    -3

    y

    7

    3

    -3

    1

    Thử lại

    chọn

    chọn

    chọn

    chọn

    Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1) 

    b) \(P = 2x + y + \frac{{30}}{x} + \frac{5}{y}\)

    \(\begin{array}{l}
     = \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}x + \frac{4}{5}y + \frac{y}{5} + \frac{{30}}{x} + \frac{5}{y}\\
     = \frac{4}{5}(x + y) + (\frac{6}{5}x + \frac{{30}}{x}) + (\frac{y}{5} + \frac{5}{y})
    \end{array}\)

    Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(\frac{6}{5}x\) và \(\frac{{30}}{x}\) , \(\frac{y}{5}\) và  \(\frac{5}{y}\) 

    ta có :  \(\frac{6}{5}x + \frac{{30}}{x} \ge 2\sqrt {\frac{6}{5}x.\frac{{30}}{x}}  = 12\) (1)

    \(\frac{y}{5} + \frac{5}{y} \ge 2\sqrt {\frac{y}{5}.\frac{5}{y}}  = 2\) (2)

    Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y  10 => P  8 + 12 + 2 = 22

    Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x,y > 0\\
    \frac{6}{5}x = \frac{{30}}{x}\\
    \frac{y}{5} = \frac{5}{y}\\
    x + y = 10
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x = 5\\
    y = 5
    \end{array} \right.\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22 <=> x = y = 5

     

     

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA