Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(1\), điểm \(M\) là trung điểm \(CD\). Cho hình vuông \(ABCD\) (tất cả các điểm trong của nó) quay quanh trục là đường thẳng \(AM\) ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó.

Khi quay hình vuông ABCD quanh AM ta được :

+) 1 khối nón đỉnh A, đường cao AN, bán kính đáy NB \(\left( {{V_1}} \right)\).

+) 1 khối nón cụt tâm N, P \(\left( {{V_2}} \right)\) - 1 khối nón đỉnh M, đường cao MP, bán kính đáy PC \(\left( {{V_3}} \right)\).

Ta có: \(\Delta ABN \sim \Delta MAD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{DM}} = \dfrac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AN = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.1}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).

\( \Rightarrow BN = \sqrt {A{B^2} - A{N^2}}  = \sqrt {1 - \dfrac{1}{5}}  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).

\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}.\dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{4\sqrt 5 \pi }}{{75}}\)

Ta có \(\Delta MPC \sim \Delta ANB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{NB}} = \dfrac{{MC}}{{AB}} = \dfrac{{MP}}{{AN}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PC = \dfrac{1}{2}NB = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\MP = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow NP = MN + MP = AM - AN + MP = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi \left( {P{C^2} + B{N^2} + PC.BN} \right).NP = \dfrac{\pi }{3}\left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{14\sqrt 5 }}{{75}}\pi \).

\({V_3} = \dfrac{1}{3}\pi MP.P{C^2} = \dfrac{\pi }{3}.\dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}.{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \dfrac{{\sqrt 5 \pi }}{{150}}\).

Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình vuông ABCD quanh cạnh AM là

\(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \dfrac{{4\sqrt 5 \pi }}{{75}} + \dfrac{{14\sqrt 5 }}{{75}}\pi  - \dfrac{{\sqrt 5 \pi }}{{150}} = \dfrac{{7\sqrt 5 }}{{30}}\pi \).

Chọn B.