Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh $AB = a; SO \bot mp\left( {ABCD} \right);SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

a) ABCD là hình vuông nên $BD\bot AC$

$SO\bot (ABCD)$ nên $BD\bot SO$

Vậy $BD\bot (SAC)$

b) Ta có $OH\bot SI$ (gt)

$CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow OH \bot CD$

Vậy $OH\bot (SCD)$. Suy ra $(HOD)\bot (SCD)$

c) Gọi $CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow OH \bot CD$

$OH \bot \left( {SCD} \right)$ nên $\varphi  = \widehat {ODH}$

$\Delta OHD:\sin \varphi  = \frac{{OH}}{{OD}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \varphi  = {\rm{arcsin}}\frac{{\sqrt 6 }}{4}$

d) Từ gt suy ra M là trung điểm SO. Gọi N là trung điểm SI.

Vì MN // (SBC) nên $d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)$

Gọi J là trung điểm BC. Kẻ $K \bot SJ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK$

$\begin{array}{l} \Delta SOJ:\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{J^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\\ d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{8} \end{array}$