Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh \(AB = a; SO \bot mp\left( {ABCD} \right);SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) ABCD là hình vuông nên \(BD\bot AC\)

\(SO\bot (ABCD)\) nên \(BD\bot SO\)

Vậy \(BD\bot (SAC)\)

b) Ta có \(OH\bot SI\) (gt)

\(CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow OH \bot CD\)

Vậy \(OH\bot (SCD)\). Suy ra \((HOD)\bot (SCD)\)

c) Gọi \(CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow OH \bot CD\)

\(OH \bot \left( {SCD} \right)\) nên \(\varphi  = \widehat {ODH}\)

\(\Delta OHD:\sin \varphi  = \frac{{OH}}{{OD}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \varphi  = {\rm{arcsin}}\frac{{\sqrt 6 }}{4}\)

d) Từ gt suy ra M là trung điểm SO. Gọi N là trung điểm SI.

Vì MN // (SBC) nên \(d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\)

Gọi J là trung điểm BC. Kẻ \(K \bot SJ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK\)

\(\begin{array}{l}
\Delta SOJ:\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{J^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\\
d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\)