Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a, SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và góc giữa SD với mặt đáy bằng $45^0$. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh SA, SC, SD sao cho $SM = MA,SN = 2NC$ và $SP = 2PD.$

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BD \bot AC\,\,\left( {ABCD\,\,\left( {hv} \right)} \right)\\ BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)\\ \left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\,\,\left( {ABCD\,\,\left( {hv} \right)} \right)\\ BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right). \end{array}$

b) $\frac{{SN}}{{NC}} = \frac{{SP}}{{PD}} = 2 \Rightarrow NP//CD\left( 1 \right)$

$CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AP\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $AP\bot NP$

c) Chỉ ra được mp (SAD) vuông góc với giao tuyến của 2 mp (MCD) và (BNP)

Tính được côsin bằng $\frac{3}{5}.$