Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a, SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và góc giữa SD với mặt đáy bằng \(45^0\). Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh SA, SC, SD sao cho \(SM = MA,SN = 2NC\) và \(SP = 2PD.\)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\,\,\left( {ABCD\,\,\left( {hv} \right)} \right)\\
BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\,\,\left( {ABCD\,\,\left( {hv} \right)} \right)\\
BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right).
\end{array}\)

b) \(\frac{{SN}}{{NC}} = \frac{{SP}}{{PD}} = 2 \Rightarrow NP//CD\left( 1 \right)\)

\(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AP\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AP\bot NP\)

c) Chỉ ra được mp (SAD) vuông góc với giao tuyến của 2 mp (MCD) và (BNP)

Tính được côsin bằng \(\frac{3}{5}.\)