Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \).

Ta có SB = SD = 2a

Vì \(\Delta SCD = \Delta SCB{\rm{ (c}}{\rm{.c}}{\rm{.c)}}\) nên chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau ⇒ BH = DH

Do đó \(\widehat {\left( {(SBC),(SCD)} \right)} = \widehat {DHB} = \varphi \)

Ta có

\(\begin{array}{l} OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow BH = DH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a \end{array}\)

Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên \(HO \bot BD\) hay \(\Delta HOB\) vuông tại O

\(OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}a\)

Ta có \(\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4};\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OB}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\)