Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân AB=AC=a,SC⊥(ABC) và SC=a

Ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SD = \frac{{{a^3}}}{6}.\)  

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot AC\\ AB \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (ACD) \Rightarrow AB \bot EC\) (1)

Mặc khác: \(SB \bot EC\) (2)

(1) (2) suy ra: \(EC \bot (SAB).\)  

Ta có: \(\frac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SB}}\) (*)

Ta có: \(SE.SA = S{C^2} \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = {\left( {\frac{{SC}}{{SA}}} \right)^2} = \frac{{S{C^2}}}{{S{C^2} + A{C^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{1}{2}.\) 

Tương tự: \(SF.SB = S{C^2} \Rightarrow \frac{{SF}}{{SB}} = {\left( {\frac{{SC}}{{SB}}} \right)^2} = \frac{{S{C^2}}}{{S{C^2} + B{C^2}}} = \frac{1}{3}.\) 

Từ (*) ta có: \(\frac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.CEF}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{6} = \frac{{{a^3}}}{{36}}.\)