Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x \ge 1\\2x,x < 1\end{array} \right.$ Mệnh đề sai là

Ta có x > 1 thì $f\left( x \right) = {x^2} + 1$ nên $f'\left( x \right) = 2x \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 2.2 = 4$ Đáp án D đúng.

Tương tự ta có $f(0)=2$ đáp án C đúng.

Ta kiểm tra xem f có đạo hàm tại $x_0=1$ hay không?

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2$

Tương tự ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 2 = 2$

Như vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = 2$

Do đó $f'\left( 1 \right) = 2$ Đáp án A đúng.