YOMEDIA

8 Bài tập bồi dưỡng Toán nâng cao lớp 6

Tải về
 
NONE

Hoc247 chia sẽ đến các em tài liệu 8 Bài tập bồi dưỡng Toán nâng cao lớp 6. Hy vọng với những bài tập này sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải bài tập và nắm một số phương pháp giải các dạng bài tập khác nhau. Mời các em cùng tham khảo!

ADSENSE
YOMEDIA

8 BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TOÁN NÂNG CAO LỚP 6

 

Bài toán 1:  So sánh giá trị biều thức \(A = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{9999}}{{10000}}\) với các số 98 và 99.

Ta có: \(A = \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{9}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{16}}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{10000}}} \right) = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right)\)=

\(99 - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right) = 99 - B\)  với B = \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}\) > 0 Nên  A

< 99.

Ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\) với mọi k \( \ge 1\) nên  \(B = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} = 1 - \frac{1}{{100}} < 1\)

Do đó  \(A = 99 - B > 99 - 1 = 98\). Vậy \(98 < A < 99\)

Tổng quát: :\(\left( {n - 2} \right) < \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}} < \left( {n - 1} \right)\)

Bài toán 2: Viết số \(1 + {2^2} + {3^3} + {4^4} + ... + {999^{999}} + {1000^{1000}}\)trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên bên trái số đó?

  Giải: Ta có \(A = 1 + {2^2} + {3^3} + {4^4} + ... + {999^{999}} + {1000^{1000}}\) ; Đặt \(B = {1000^{1000}} = {10^{3000}} = 1\underbrace {00000...0000}_{3000}\) gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)

Đặt C \( = 1000 + {1000^2} + {1000^3} + ... + {1000^{999}} + {1000^{1000}} = {10^3} + {10^6} + .. + {10^{2997}} + {10^{3000}}\)=\(100100100....1000\) gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C  và B, C đều có 3001 chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số  nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100.

Bài toán 3:

Cho \(A = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{29}} + ... + \frac{1}{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{1877}}\). Chứng minh rằng \(0,15 < A < 0,25\).

  Giải :  Ta có \(A = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{29}} + ... + \frac{1}{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{1877}}\)

\( = \frac{1}{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}} + \frac{1}{{{2^2} + {3^2} + {4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{24}^2} + {{25}^2} + {{26}^2}}}\)

\(B = {n^2} + {\left( {n + 1} \right)^2} + {\left( {n + 2} \right)^2} = 3{n^2} + 6n + 5\). (1)

  • Với \(n \ge 1\) từ (1) ta có: \(B < 3{n^2} + 9n + 6 = 3\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) = 3\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\). Từ đó :

\(A > \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}}} \right) = \frac{1}{3}C\)

Với \(C = \)\(\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{25}} - \frac{1}{{26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{26}} = \frac{6}{{13}}\). Suy ra  \(A > \frac{1}{3}.\frac{6}{{13}} = \frac{2}{{13}} > 0,15\).

  • Với \(n \ge 1\) từ (1) ta có: \(B > 2{n^2} + 6n + 4 = 2\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) = 2\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\). Từ đó :

\(A < \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}}} \right) = \frac{1}{2}C\)

Với \(C = \)\(\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{25}} - \frac{1}{{26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{26}} = \frac{6}{{13}}\). Suy ra  \(A < \frac{1}{2}.\frac{6}{{13}} = \frac{3}{{13}} < 0,25\). Vậy \(0,15 < A < 0,25\)

Tổng quát:quát:\(\frac{1}{6} - \frac{1}{{3\left( {k + 2} \right)}} < \frac{1}{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}} + \frac{1}{{{2^2} + {3^2} + {4^2}}} + ... + \frac{1}{{{k^2} + {{\left( {k + 1} \right)}^2} + {{\left( {k + 2} \right)}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{{2\left( {k + 2} \right)}}\)

 

Để xem tiếp các bài toán còn lại các em vui lòng đăng nhập vào website Hoc247.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính. Chúc các em ôn tập thật tốt.

 

 

NONE

ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF