Bài tập về Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8 năm 2019

ĐẠI SỐ 8 – NĂM HỌC 2019

Chuyên đề: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

 

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• \({{\left( \text{A + B} \right)}^{2}}\text{ = }{{\text{A}}^{2}}\text{ + 2AB + }{{\text{B}}^{2}}\)                                            (1)
• \({{\left( \text{A - B} \right)}^{2}}\text{ = }{{\text{A}}^{2}}\text{ - 2AB + }{{\text{B}}^{2}}\)                                              (2)    
• \({{\text{A}}^{2}}\text{- }{{\text{B}}^{2}}\text{ - }\left( \text{A + B} \right)\left( \text{A - B} \right)\)                                                (3)
• \({{\left( \text{A + B} \right)}^{3}}\text{ = }{{\text{A}}^{3}}\text{ + 3}{{\text{A}}^{2}}\text{B + 3A}{{\text{B}}^{2}}\text{ + }{{\text{B}}^{3}}\)                               (4)

               \(\text{= }{{\text{A}}^{3}}\text{ + }{{\text{B}}^{3}}\text{ + 3AB}\left( \text{A + B} \right)\)

• \({{\left( \text{A - B} \right)}^{3}}\text{ = }{{\text{A}}^{3}}\text{ - 3}{{\text{A}}^{2}}\text{B + 3A}{{\text{B}}^{2}}\text{ - }{{\text{B}}^{3}}\)                                  (5)

                         \(\text{= }{{\text{A}}^{3}}\text{ - }{{\text{B}}^{3}}\text{ - 3AB}\left( \text{A - B} \right)\)

• \({{\text{A}}^{3}}\text{ + }{{\text{B}}^{3}}\text{ = }\left( \text{A + B} \right)\left( {{\text{A}}^{2}}\text{ - AB + }{{\text{B}}^{2}} \right)\)                                  (6)
• \({{\text{A}}^{3}}\text{ - }{{\text{B}}^{3}}\text{ = }\left( \text{A - B} \right)\left( {{\text{A}}^{2}}\text{ + AB + }{{\text{B}}^{2}} \right)\)                                      (7)

KIẾN THỨC BỔ SUNG

1. Bình phương của đa thức

 \({{\text{(a}_{\text{1}}^{{}}\text{ + a}_{\text{2 }}^{{}}\text{+ }...\text{ + a}_{\text{n}}^{{}}\text{)}}^{\text{2}}}\text{ = a}_{\text{1}}^{\text{2}}\text{ + a}_{\text{2}}^{\text{2}}\text{ + }...\text{ + a}_{\text{n}}^{\text{2}}\text{ + 2a}_{\text{1}}^{{}}\text{a}_{\text{2}}^{{}}\text{ + 2a}_{\text{1}}^{{}}\text{a}_{\text{3}}^{{}}\text{ + }...\text{ + 2a}_{\text{1}}^{{}}\text{a}_{\text{n}}^{{}}\)

                                \(\text{+ 2a}_{\text{2}}^{{}}\text{a}_{\text{3}}^{{}}\text{ + 2a}_{\text{2}}^{{}}\text{a}_{\text{4}}^{{}}\text{ + }...\text{ + 2a}_{\text{2}}^{{}}\text{a}_{\text{n}}^{{}}\text{ + }...\text{ + 2a}_{\text{n-1}}^{{}}\text{a}_{\text{n}}^{{}}\text{.}\)

Đặc biệt, với n = 3 ta có :

\({{\text{(a + b + c)}}^{\text{2}}}\text{ = }{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{b}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{ + 2ab + 2ac + 2bc}\text{.}\)

2. Luỹ thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu-tơn)

\({{\text{(a + b)}}^{\text{n}}}\text{ = }{{\text{a}}^{\text{n}}}\text{ + n}{{\text{a}}^{\text{n-1}}}\text{b + }\frac{\text{n(n-1)}}{\text{1}\text{.2}}{{\text{a}}^{\text{n-2}}}{{\text{b}}^{\text{2}}}\text{ + }\frac{\text{n(n-1)(n-2)}}{\text{1}\text{.2}\text{.3}}{{\text{a}}^{\text{n-3}}}{{\text{b}}^{\text{3}}}\text{ + }...\text{ + }{{\text{b}}^{\text{n}}}\text{.}\)

Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được :

        Với n = 0     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{0}}\text{= 1}\)

        Với n = 1     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{1}}\text{ = a + b}\)

        Với n = 2     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{2}}\text{ = }{{\text{a}}^{2}}\text{ + 2ab + }{{\text{b}}^{2}}\)

        Với n = 3     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{3}}\text{ = }{{\text{a}}^{3}}\text{ + 3}{{\text{a}}^{2}}\text{b + 3a}{{\text{b}}^{2}}\text{ + }{{\text{b}}^{3}}\)

        Với n = 4     thì     \(\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\left( \text{a + b} \right)}^{4}}\text{ = }{{\text{a}}^{4}}\text{ + 4}{{\text{a}}^{3}}\text{b + 6}{{\text{a}}^{2}}{{\text{b}}^{2}}\text{ + 4a}{{\text{b}}^{3}}\text{ + }{{\text{b}}^{4}}\)

        Với n = 5     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{5}}\text{ = }{{\text{a}}^{5}}\text{ + 5}{{\text{a}}^{4}}\text{b + 10}{{\text{a}}^{3}}{{\text{b}}^{2}}\text{ + 10}{{\text{a}}^{2}}{{\text{b}}^{3}}\text{ + 5a}{{\text{b}}^{4}}\text{ + }{{\text{b}}^{5}}\) 

Ta nhận thấy khi khai triển \({{\text{(a+b)}}^{\text{n}}}\) ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử đầu là \({{\text{a}}^{\text{n}}}\), hạng tử cuối là \({{\text{b}}^{\text{n}}}\), các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b.

Vì vậy \({{\text{(a+b)}}^{\text{n}}}\text{ = B(a) + }{{\text{b}}^{\text{n}}}\text{ = B(b) + }{{\text{a}}^{\text{n}}}\text{.}\)

3. Bảng các hệ số khi khai \({{\text{(a+b)}}^{\text{n}}}\)

Với n = 0   :   1   

Với n = 1   :   1     1

Với n = 2   :   1     2     1

Với n = 3   :   1     3     3            1

Với n = 4   :   1     4     6            4    1

Với n = 5   :   1     5     10   10   5    1

………………………………………………….

- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

- Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.

Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan.

B. MỐT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn :

\(\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{5a - 3b + 4c} \right)\left( \text{5a - 3b - 4c} \right)\text{ = }{{\left( \text{3a - 5b} \right)}^{2}}\)

thì tam giác đó là tam giác vuông.

Giải.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{\rm{5a  -  3b  +  4c}}} \right)\left( {{\rm{5a  -  3b  -  4c}}} \right){\rm{  =  }}{{\left( {{\rm{3a  -  5b}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ =  }}\left( {\left( {{\rm{5a  -  3b}}} \right){\rm{  +  4c}}} \right)\left( {\left( {{\rm{5a  -  3b}}} \right){\rm{ - 4c}}} \right){\rm{ = }}{{\left( {{\rm{3a  -  5b}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ =  }}{{\left( {{\rm{5a  -  3b}}} \right)}^2}{\rm{ -  }}{{\left( {{\rm{4c}}} \right)}^2}{\rm{  =  }}{{\left( {{\rm{3a  -  5b}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ =  25}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  30ab  +  9}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  =  9}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  30ab  +  25}}{{\rm{b}}^2}}\\
{{\rm{ =  25}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  9a}}{{\rm{2}}^2}{\rm{  +  9}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  25}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  =  0}}}\\
{{\rm{ =  16}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  =  0 }}{\rm{ }}}\\
{{\rm{ =  16}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  =  16}}{{\rm{b}}^2}{\rm{ +  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{a}}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{b}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{c}}^2}{\rm{.}}}
\end{array}\)

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vuông.

Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Không tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị của các biểu thức sau :

\(\text{a) }\!\!~\!\!\text{ M = }{{\text{x}}^{2}}\text{ + }{{\text{y}}^{2}}\text{ ;        b) N = }{{\text{x}}^{4}}\text{ + }{{\text{y}}^{4}}\text{ ; }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  c) }\!\!~\!\!\text{ P = }\!\!~\!\!\text{  }{{\text{x}}^{2}}\text{ - }{{\text{y}}^{2}}\text{.}\)

Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới      dạng các biểu thức có (x + y) và xy.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{a) M  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  2xy  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  -  2xy  =  }}{{\left( {{\rm{x  +  y}}} \right)}^2}{\rm{  -  2xy}}}\\
{{\rm{ =  }}{{\left( {{\rm{ - 9}}} \right)}^2}{\rm{  -  2}}{\rm{.18  =  45}}{\rm{.}}}\\
{{\rm{b) N  =  }}{{\rm{x}}^4}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^4}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^4}{\rm{  +  2}}{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^4}{\rm{  -  2}}{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{  =  }}\left( {{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^2}} \right){\rm{2  -  2}}{{\left( {{\rm{xy}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ =  4}}{{\rm{5}}^2}{\rm{  -  2}}{\rm{.1}}{{\rm{8}}^2}{\rm{  =  1377}}{\rm{.}}}\\
{{\rm{c) }}{\rm{ Ta c }}\mathop {\rm{o}}\limits^ {\rm{  }}{{\left( {{\rm{x  -  y}}} \right)}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  -  2xy  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  2xy  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  -  4xy}}}\\
{{\rm{ =  }}{{\left( {{\rm{x  +  y}}} \right)}^2}{\rm{  -  4xy  =  }}\left( {{\rm{ - 9}}} \right){\rm{2  -  4}}{\rm{.18  =  9}}{\rm{.}}}\\
{ \Rightarrow {\rm{ x  -  y  =   }} \pm {\rm{ 3}}{\rm{.}}}
\end{array}\)

• Nếu x - y = 3 thì \(\text{P = }{{\text{x}}^{2}}\text{ - }{{\text{y}}^{2}}\text{ = }\left( \text{x - y} \right)\left( \text{x + y} \right)\text{ = 3}\text{.}\left( \text{-9} \right)\text{ = -27}\text{.}\).

• Nếu x - y = -3 thì \(\text{P = }{{\text{x}}^{2}}\text{ - }{{\text{y}}^{2}}\text{ = }\left( \text{x - y} \right)\left( \text{x + y} \right)\text{ = }\left( \text{-3} \right)\text{.}\left( \text{-9} \right)\text{ = 27}\text{.}\).

Ví dụ 9. Tìm x, y, z biết:

\({{\text{x}}^{2}}\text{ - 6x + }{{\text{y}}^{2}}\text{ + l0y + 34 = -}{{\left( \text{4z - l} \right)}^{2}}\text{.}\)

Giải.

Ta có   \({{\text{x}}^{2}}\text{ - 6x + }{{\text{y}}^{2}}\text{ + l0y + 34 = -}{{\left( \text{4z - l} \right)}^{2}}\text{ }\)

Suy ra  \(\left( {{\text{x}}^{2}}\text{ - 6x + 9} \right)\text{ + }\left( {{\text{y}}^{2}}\text{ + l0y + 25} \right)\text{ = -}{{\left( \text{4z - l} \right)}^{2}}\)

          \(<=>\) \({{\left( \text{x - 3} \right)}^{2}}\text{ + }{{\left( \text{y + 5} \right)}^{2}}\text{+ }{{\left( \text{4z - l} \right)}^{2}}\text{ = 0}\)

Ta thấy \(\text{ }{{\left( \text{x - 3} \right)}^{2}}\text{ }\ge \text{ 0 ; }{{\left( \text{y + 5} \right)}^{2}}\text{ }\ge \text{ 0 ; }{{\left( \text{4z - l} \right)}^{2}}\text{ }\ge \text{ 0 }\)

Mà \({{\left( \text{x - 3} \right)}^{2}}\text{ + }{{\left( \text{y + 5} \right)}^{2}}\text{ + }{{\left( \text{4z - l} \right)}^{2}}\text{ = 0}\text{.}\)

nên 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{{\rm{(x  -  3)}}^{\rm{2}}}{\rm{  =  0}}\\
{{\rm{(y  +  5)}}^{\rm{2}}}{\rm{  =  0}}\\
{{\rm{(4z  -  1)}}^{\rm{2}}}{\rm{  =  0}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x  =  3}}\\
{\rm{y  =   - 5}}\\
{\rm{z  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{.}}
\end{array} \right.\)

Nhận xét: Ta gọi phương pháp giải trong ví dụ trên là phương pháp "Tổng các bình phương".

{-- Để xem tiếp phần bài tập, các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích một phần nội dung Bài tập về Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8 năm 2019. Để xem đầy đủ nội dung của đề thi các em vui lòng đăng nhập và chọn Xem online và Tải về.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.

Chúc các em học tốt