5 Bài toán hay từ hình thang cân và tam giác

5 BÀI TOÁN HAY TỪ HÌNH THANG CÂN VÀ TAM GIÁC

 

GIỚI THIỆU: Trong phần hình học lớp 8 và nhiều bài luyện tập chúng ta ít gặp “Hình thang cân”, nhưng hình thang cân trong thực tế có khá nhiều (Cái thang, mặt cắt của tòa tháp…). Một số bài tập khó giải về hình tam giác nếu biết ứng dụng tính chất hình thang sẽ thuận lợi hơn nhiều khi giải. NBS chọn 5 bài tiêu biểu giới thiệu để các bạn tham khảo. NBS tạm gọi 3 bài đầu như “Bổ đề”

 

 Từ định nghĩa:

(*)Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối diện song song nhau.

(**)Hình thang cân là hình thang có:

• 2 góc  ở đáy bằng nhau (ÐC = ÐD)
• 2 cạnh bên bằng nhau ( AC = BD)
• 2 đường chéo bằng nhau (AD =CB)

 

1./BÀI TOÁN 1 (Bổ đề 1a)

 “Trong một hình thang cân, hai đường trung trực của 2 đáy trùng nhau”

 

CM: Có hình thang cân ABCD; Kéo dai 2 cạnh bên

Cho cắt nhau tại S,

   Þ Ta có 2 tam giác cân DSAB và DSCD

(đương nhiên vì ÐSCD = ÐCDS và ÐSAB=ÐSBA)

- Đường cao SE của DSAB vừa là trung tuyến vừa là trung trực của AB, vừa là phân giác của ÐS

- Đường cao SF của DSCD vừa là trung tuyến vừa là trung trực của CD, vừa là phân giác của ÐS

è Vậy Trung trực Em của DSAB trùng trung trực Fm của DSCD  (ĐPCM)

 

2/. BÀI TOÁN 2 (Bổ đề 1b)

  “Trong một tứ giác, nếu hai trung trực của 2 cạnh đối nhau không trùng nhau thì tứ giác đó không phải là hình thang cân”

 

CM: Thực chất Bổ đề 1b là phần đảo của 1a, tuy nhiên chứng minh 1b không đơn giản như CM cho 1a. Hãy xét 2 trường hợp:

TH1: Giải sử

-Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn

 AB//CD và AB<CD Þ ABCD là hình thang.

Nhưng không phải là hình thang cân, vì nếu lấy CD làm đáy cho D cân SCD  Þ ÐSDC < BDC

- Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn

 AB//CD và AB=CD Þ ABCD là hình bình hành

 è Chứng tỏ nếu 2 trung trực // nhau thì không có hình thang cân (ĐPCM)

 

 TH 2: Giải sử :

Tứ giác ABCD có trung trực Em cắt trung trực Fn tại P Þ ta có  ÐEPF

mà nếu kéo dài AB và CD thì AB sẽ cắt CD tại một điểm Q để ÐAQD = ÐEPF

(2 góc có cặp cạnh vuông góc nhau)

 Þ AB không // CD Þ ABCD không phải là hình thang theo định nghĩa(*), càng không thể là hình thang cân, theo định nghĩa (**) (ĐPCM)

 

3/. BÀI TOÁN 3 (Bổ đề 2)

Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC =BD, kèm theo:

• a/ Nếu 2 cạnh bên AD =BC thì tứ giác đó là hình thang cân
• b/ Nếu 2 góc ở đáy ÐD =ÐC thì tứ giác đó là hình thang cân

*CM:

a/Theo điều kiện bài toán 2 tam giác DADC và DBDC có: AC=BD; AB=BC; DC chung ÞDADC = DBDC

ÞÐA1 = ÐB1; ÐD2 = ÐC2 ÞTứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ÞÐD2 = ÐB2 (chắn 2 cung AD=BC)

           è AB//DC (góc so le bằng nhau).

 Theo định nghia(**)ABCD là hình thang cân (đpcm)

 

b/ Trên 2 đường chéo AC, BD dựng 2 đường trung trực, 2 trung trực cắt nhau tại O Þ O cách đều A,B, C, D ( vì AC=BD tạo ra 4 tam giác vuông bằng nhau)

è Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn O.

ÞÐA2=ÐD2 (cùng chắn cung BC) mà ÐA2=ÐB2 (DIAB cân) ÞÐD2 =ÐB2Þ AB//DC

è ABCD là hình thang; và vì có ÐD = ÐC nên:

     ABCD là hình thang cân (đpcm)                     

 

4/. BÀI TOÁN 4

Chứng minh rằng: Một tam giác có 2 đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

(Đây là bài toán rất hay, đã từng được nhiều thế hệ HS (lớp 6-7 – hệ GD cũ và các lớp 8 – 9 – hệ GD mới) trăn trở tìm khá nhiều cách CM mà cách nào cũng phải có tìm tòi sáng tạo [*]. Nhân chuyên đề “hình thang cân” NBS giới thiệu 3 cách CM sau)

• Cách thứ nhất:

Từ dữ liệu ít ỏi: DABC ; có ÐB và ÐC là 2 góc ở đáy; với ÐB1=ÐB2 , ÐC1=ÐC2 và BM=CN.

Dựng đường trung trực Hm của BM và Kn của CN,

2 trung trực cắt nhau tại O.

Vì BM=CN Þ BH=HM=CK=KN

                    Þ OM=ON=OB=OC

è4 điểm B,C,M,N cùng nằm trên đường tròn tâm O

Có ÐB1 = ÐC1 ( cùng chắn cung MN) Þ2B1=2C1

          Mà 2ÐB1=ÐABC và 2ÐC1=ÐACB     

 

         ÞÐABC=ÐACB è DABC cân (ĐPCM)

Biện luận: 2 trung trực Hm và Kn cắt nhau vì 2 phân giác trong DABC đã cắt nhau.(Điều này tưởng như hiển nhiên, nhưng cần nêu)