Chuyên đề Bổ đề hình thang và chùm đường thẳng đồng quy Toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng HSG

BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy”

Chứng minh:

Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F

Nối EG, FG, ta có: \(\Delta\)ADG \(\sim\) \(\Delta\)CBG (g.g) , nên :

\(\frac{\text{AD}}{\text{CB}}=\frac{\text{AG}}{\text{CG}}\Rightarrow \frac{\text{2AE}}{\text{2CF}}=\frac{\text{AG}}{\text{CG}}\Rightarrow \frac{\text{AE}}{\text{CF}}=\frac{\text{AG}}{\text{CG}}\) (1)

Ta lại có : \(\widehat{\text{EAG}}=\widehat{\text{FCG}}\) (SL trong )    (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\Delta \)AEG \(\sim\) \(\Delta \)CFG (c.g.c)

Do đó: \(\widehat{\text{AGE}}=\widehat{\text{CGF}}\Rightarrow \) E , G , H thẳng hàng (3)

Tương tự, ta có: \(\Delta \)AEH \(\sim\) \(\Delta \)BFH\(\Rightarrow \widehat{\text{AHE}}=\widehat{\text{BHF}}\)

 \(\Rightarrow\) H , E , F  thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F  thẳng hàng

Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại A, B, C và cắt n tại A’, B’, C’ thì

\(\frac{\text{AB}}{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}\text{ = }\frac{\text{BC}}{\text{B }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ }}=\frac{\text{AC}}{\text{A }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ }}\)  hoặc \(\frac{\text{AB}}{\text{BC}}\text{ = }\frac{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{B }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ }}\text{  ; }\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{A }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ }}\) 

* Đảo lại:

+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định ra trên hai đường thẳng song song các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy

+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng song song với nhau

Bài 1:

Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm CD, N là trung điểm CB. Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành

Giải

Gọi E, F là giao điểm của AM, AN với BD; G, H là giao điểm của MN với AD, BD

MN // BC (MN là đường trung bình của \(\Delta\)BCD)

\(\Rightarrow \) Tứ giác HBFM là hình thang có hai cạnh bên đòng quy tại A, N là trung điểm của đáy BF nên theo bổ đề hình thang thì N là trung điểm của đáy MH

\(\Rightarrow \)MN = NH (1)

Tương tự : trong hình thang CDEN thì M là trung điểm của GN \(\Rightarrow \) GM = MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra GM = MN = NH

Ta có \(\Delta\)BNH = \(\Delta\)CNM (c.g.c) \(\Rightarrow \) \(\widehat{\text{BHN}}\text{ = }\widehat{\text{CMN}}\) \(\Rightarrow \) BH // CM hay AB // CD (a)

Tương tự: \(\Delta \)GDM = \(\Delta\)NCM (c.g.c) \(\Rightarrow \) \(\widehat{\text{DGM}}\text{ = }\widehat{\text{CNM}}\) \(\Rightarrow \) GD // CN hay AD // CB (b)

Từ (a) và (b) suy ra tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành

Bài 2:

Cho \(\Delta\)ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: HM $\bot $PQ

Giải

Gọi giao điểm của AH và BC là I

Từ C kẻ CN // PQ (N\(\in\) AB),

ta chứng minh MH \(\bot\)CN \(\Rightarrow \) HM \(\bot \)PQ

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN \(\Rightarrow \) MK là đường trung bình của \(\Delta\)BCN \(\Rightarrow \) MK // CN \(\Rightarrow \) MK // AB (1)

H là trực tâm của \(\Delta\)ABC nên CH \(\bot \) A B (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK \(\bot \)CH \(\Rightarrow \) MK là đường cao của \(\Delta\)CHK (3)

Từ  AH \(\bot \)BC \(\Rightarrow\) MC\(\bot \)HK \(\Rightarrow \) MI là đường cao của \(\Delta\)CHK  (4)

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của \(\Delta\)CHK\(\Rightarrow \) MH\(\bot \)CN \(\Rightarrow \) MH\(\bot \)PQ

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1: Chọn câu đúng trong các câu sau:

A. Hình thang có ba góc tù, một góc nhọn.

B. Hình thang có ba góc vuông, một góc nhọn.

C. Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù.

D. Hình thanh có nhiều nhất hai góc nhọn và nhiều nhất hai góc tù.

Hướng dẫn giải

Ta có tổng các góc của hình thang bằng 360⁰.

+ Hình thang có ba góc tù, một góc nhọn.

Ví dụ: Hình thang có 3 góc tù là 100⁰,120⁰,135⁰ và 1 góc nhọn là 60⁰.

⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 100⁰ + 120⁰ + 135⁰ + 60⁰ = 415⁰ > 360⁰

⇒ Không tồn tại hình thang có ba góc tù, một góc nhọn. ⇒ Đáp án A sai

+ Hình thang có ba góc vuông, một góc nhọn.

Ví dụ: Hình thang có 3 góc bằng 90⁰ và một góc nhọn bằng 65⁰.

⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 90⁰ + 90⁰ + 90⁰ + 65⁰ = 335⁰ < 360⁰

⇒ Không tồn tại hình thang ba góc vuông, một góc nhọn. ⇒ Đáp án B sai.

+ Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù.

Ví dụ: Hình thang có ba góc nhọn là 45⁰,75⁰,80⁰, một góc tù là 160⁰

⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 45⁰ + 75⁰ + 80⁰ + 160⁰ = 360⁰

⇒ Tồn tại Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù. ⇒ Đáp án C đúng

⇒ Hình thang có nhiều nhất là 3 góc nhọn. ⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Một hình thang có một cặp góc đối là 125⁰ và 75⁰, cặp góc đối còn lại của hình thang đó là ?

A. 105⁰,55⁰   

B. 105⁰,45⁰

C. 115⁰,55⁰   

D. 115⁰,65⁰

Hướng dẫn giải

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360⁰.

Theo giả thiết ta có một cặp góc đối là 125⁰ và 75⁰

⇒ Tổng số đo góc của cặp góc đối còn lại là 160⁰.

Xét đáp án ta có cặp 105⁰,55⁰ thỏa mãn.

Chọn đáp án A.

Bài 3: Hình thang ABCD có Cˆ + Dˆ = 150⁰. Khi đó Aˆ + Bˆ = ?

A. 220⁰   

B. 210⁰

C. 200⁰   

D. 190⁰

Hướng dẫn giải

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360⁰.

Khi đó ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360⁰ ⇒ Aˆ + Bˆ = 360⁰ - ( Cˆ + Dˆ )

⇒ Aˆ + Bˆ = 360⁰ - 150⁰ = 210⁰.

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hình thang ABCD trong đó có Aˆ = 120⁰, Bˆ = 60⁰, Dˆ = 135⁰ thì số đo của góc Cˆ = ?

A. 55⁰   

B. 45⁰

C. 50⁰   

D. 60⁰

Hướng dẫn giải

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360⁰.

Khi đó ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360⁰ ⇒ Cˆ = 360⁰ - ( Aˆ + Bˆ + Dˆ )

⇒ Cˆ = 360⁰ - ( 120⁰ + 60⁰ + 135⁰ ) = 45⁰.

Chọn đáp án B.

Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Biết AD = 3 cm và CD = 4cm. Tính AC?

A. 3cm    

B. 4cm

C. 3,5cm    

D. 5cm

Hướng dẫn giải

Do tứ giác ABCD là hình thang vuông nên Dˆ = 90^o

Suy ra, tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Áp dụng đinh lí Py ta go vào tam giác vuông ACD ta có:

AC² = AD² + DC² = 3²2 + 4² = 25

Suy ra: AC = 5cm

Chọn đáp án D

Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD có AB // CD và AD = 6cm; DC = 8cm và AC = 10cm. Tìm khẳng định sai ?

A. Tam giác ADC vuông tại D.

B. Tứ giác ABCD là hình thang

C. Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Dˆ = 90^o

D. Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Bˆ = 90^o

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD.

Xét tam giác ACD có: AD² + CD² = AC² (6² + 8² = 10² = 100)

Suy ra: tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Do đó: Dˆ = 90^o

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Dˆ = 90^o

Vậy khẳng định D sai

Chọn đáp án D

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Bổ đề hình thang và chùm đường thẳng đồng quy Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.