Bài tập 3 trang 128 SBT Toán 11 Tập 1 - CTST Chân trời sáng tạo

a) Ta có DD’ // BB’ và DD’ = BB’ (do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp).

Suy ra DD’B’B là hình bình hành, suy ra BD // B’D’.

Mà B’D’ ⊂ (B’D’C), suy ra BD // (B’D’C).

Chứng minh tương tự ta có DA’ // B’C, mà B’C ⊂ (B’D’C).

Suy ra DA’ // (B’D’C).

Ta có BD // (B’D’C);

DA’ // (B’D’C);

BD ∩ DA’ = D và BD, DA’ ⊂ (BDA’).

Suy ra (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’.

Trong hình bình hành AA’C’C gọi I là giao điểm của AC’ và A’C; AC’ cắt A’O tại G₁.

Trong tam giác AA’C, ta có G₁ là giao điểm của hai trung tuyến AI và A’O.

Nên G₁ là trọng tâm của tam giác AA’C.

Do đó $A^{\text{'}}{G}_1=\frac{2}{3}{A}^{\text{'}}\mathrm{O.}$

Mà G là trọng tâm của tam giác A’BD nên ta cũng có $A^{\text{'}}G=\frac{2}{3}{A}^{\text{'}}\mathrm{O.}$

Do đó G₁ ≡ G hay ta xác định được G là giao điểm của AC’ và A’O.

Tương tự ta cũng xác định được trọng tâm G’ tam giác B’D’C là giao điểm của AC’ với CO’.

Vậy AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Ta có: $AG=\frac{2}{3}AI=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}A{C}^{\text{'}}=\frac{1}{3}A{C}^{\text{'}}$; $C^{\text{'}}{G}^{\text{'}}=\frac{2}{3}{C}^{\text{'}}I=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}A{C}^{\text{'}}=\frac{1}{3}A{C}^{\text{'}}$.

Do đó $AG=C^{\text{'}}{G}^{\text{'}}=\frac{1}{3}A{C}^{\text{'}}$ nên $G{G}^{\text{'}}=A{C}^{\text{'}}-AG-C^{\text{'}}{G}^{\text{'}}$ = $A{C}^{\text{'}}-\frac{1}{3}A{C}^{\text{'}}-\frac{1}{3}A{C}^{\text{'}}$ = $\frac{1}{3}A{C}^{\text{'}}$.

Hay AG = GG’ = G’C’.

Vậy G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

-- Mod Toán 11 HỌC247