YOMEDIA
NONE

Chứng minh nếu n chia hết cho 7 thì n^3-1 hoặc n^3+1 chia hết cho 7

1. Cmr \(\forall\) m,n \(\in\) Z : a) Nếu n \(⋮̸\) 7 thì n3 - 1 hoặc n3 + 1 \(⋮\) 7

b) mn(m2 - n2)(m2 + n2) \(⋮\) 30

2. Tìm số tự nhiên n để : a) 22n + 2n + 1 \(⋮\) 7

b) 3n + 63 \(⋮\) 72

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • 1b)

    Đặt \(A=mn(m^2-n^2)(m^2+n^2)\)

    Nếu $m,n$ có cùng tính chẵn lẻ thì \(m^2-n^2\) chẵn, do đó \(A\vdots 2\)

    Nếu $m,n$ không cùng tính chẵn lẻ, có nghĩa trong 2 số $m,n$ tồn tại một số chẵn và một số lẻ, khi đó \(mn\vdots 2\Rightarrow A\vdots 2\)

    Tóm lại, $A$ chia hết cho $2$

    ---------

    Nếu trong 2 số $m,n$ có ít nhất một số chia hết cho $3$ thì \(mn\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3\)

    Nếu cả hai số đều không chia hết cho $3$. Ta biết một tính chất quen thuộc là một số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$. Vì $m,n$ không chia hết cho $3$ nên:

    \(m^2\equiv n^2\equiv 1\pmod 3\Rightarrow m^2-n^2\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3\)

    Vậy \(A\vdots 3\)

    -----------------

    Nếu tồn tại ít nhất một trong 2 số $m,n$ chia hết cho $5$ thì hiển nhiên $A\vdots 5$

    Nếu cả 2 số đều không chia hết cho $5$. Ta biết rằng một số chính phương khi chia $5$ dư $0,1,4$. Vì $m,n\not\vdots 5$ nên \(m^2,n^2\equiv 1,4\pmod 5\)

    +Trường hợp \(m^2,n^2\) cùng số dư khi chia cho $5$\(\Rightarrow m^2-n^2\equiv 0\pmod 5\Rightarrow m^2-n^2\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5\)

    +Trường hợp $m^2,n^2$ không cùng số dư khi chia cho $5$

    \(\Rightarrow m^2+n^2\equiv 1+4\equiv 0\pmod 5\Rightarrow m^2+n^2\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5\)

    Tóm lại $A\vdots 5$

    Vậy \(A\vdots (2.3.5)\Leftrightarrow A\vdots 30\) (do $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau)

    Ta có đpcm.

      bởi Trần Sơn 17/04/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF