YOMEDIA
NONE

Chứng minh đẳng thức

Cho tam giác ABC có diện tích =s. Đặt P=\(\dfrac{a+b+c}{2}\)

Chứng minh: \(S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyễn Bá Hoàng Long

    Lời giải:

    Đây chính là hệ thức Herong cho diện tích tam giác:

    Xét tam giác $ABC$ có các cạnh đối diện góc A,B,C lần lượt là $a,b,c$

    Theo định lý hàm số cos ta có:

    \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)

    \(\Rightarrow \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\Rightarrow \cos ^2C=\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}\)

    \(\Leftrightarrow 1-\sin ^2C=\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}\Leftrightarrow \sin ^2C=\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}\)

    \(\Leftrightarrow \sin ^2C=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{4a^2b^2}\)

    \(\Leftrightarrow \sin C=\frac{\sqrt{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}}{2ab}\)

    \(\Leftrightarrow \sqrt{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}=2ab.\sin C\) (*)

    -----------------------------------

    Kẻ đường cao AH. Ta có:
    \(S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}\) (1)

    Mặt khác: \(\sin C=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\sin C. AC\) (2)

    Từ (1)(2) suy ra \(S=S_{ABC}=\frac{\sin C. AC. BC}{2}=\frac{ab\sin C}{2}\)

    \(\Leftrightarrow 4S=2ab\sin C\) (**)

    Từ (*) và (**) suy ra

    \(4S=\sqrt{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}\)

    \(\Leftrightarrow 16S^2=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)\)

    \(\Leftrightarrow S^2=\frac{c-a+b}{2}.\frac{c+a-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a+b+c}{2}\)

    \(\Leftrightarrow S^2=(p-a)(p-b)(p-c)p\)

    Ta có đpcm.

      bởi Nguyễn Bá Hoàng Long 31/12/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF