YOMEDIA
NONE

Chứng minh bất đẳng thức

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(abc\ge1\)

CMR: \(\left(a+\dfrac{1}{a+1}\right)\left(b+\dfrac{1}{b+1}\right)\left(c+\dfrac{1}{c+1}\right)\ge\dfrac{27}{8}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lời giải:

    Đặt biểu thức vế trái là A

    Có \(a+\frac{1}{a+1}=\frac{a^2+a+1}{a+1}=\frac{a^2}{a+1}+1=\frac{a^2}{a+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
    \(a+\frac{1}{a+1}\geq \frac{(a+1+1)^2}{a+1+2+2}=\frac{(a+2)^2}{a+5}\)

    Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và nhân theo vế:

    \(\Rightarrow A\geq \frac{(a+2)^2(b+2)^2(c+2)^2}{(a+5)(b+5)(c+5)}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \((a+2)(b+2)(c+2)\geq 3\sqrt[3]{a}.3\sqrt[3]{b}.3\sqrt[3]{c}=27\sqrt[3]{abc}\geq 27\)

    \(\Rightarrow A\geq \frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\) (1)

    Ta sẽ cm

    \(\frac{27(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+5)(b+5)(c+5)}\geq \frac{27}{8}(*)\Leftrightarrow 8(a+2)(b+2)(c+2)\geq (a+5)(b+5)(c+5)\)

    \(\Leftrightarrow 8[abc+8+2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)]\geq abc+125+5(ab+bc+ac)+25(a+b+c)\)

    \(\Leftrightarrow 7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 61\)

    BĐT trên luôn đúng theo AM_GM:

    \(7abc+11(ab+bc+ac)+7(a+b+c)\geq 7abc+33\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+21\sqrt[3]{abc}\geq 7+33+21=61\)

    Do đó (*) đúng.

    Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{27}{8}\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

      bởi Trần Lâm 01/01/2020
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF