YOMEDIA
NONE

Chứng minh a < 1 < b < 3 < c < 4 biết a, b, c là 3 số dương

Cho 3 số dương a,b,c thõa mãn :

\(\left\{{}\begin{matrix}a< b< c\\a+b+c=6\\ab+bc+ac=9\end{matrix}\right.\)

Chứng minh : a < 1 < b < 3 < c < 4

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (2)

  • 3 ( a - 1 ) ( a - 3 ) - ( a - b ) ( a - c ) = 0
    3 ( b - 1 ) ( b - 3 ) - ( b - a ) ( b - c ) = 0
    3 ( c - 1 ) ( c - 3 ) - ( c -a ) ( c - b ) = 0
    3 ( a - 1 ) ( a - 3 ) - ( a - b ) ( a - c ) = 0
    ⇔ 3a² - 12a + 9 - a² - bc + ab + ca = 0
    ⇔ 2a² - 12a + ( 9 - bc ) + ( ab + ca ) = 0
    ⇔ 2a ( a - 6 ) + ( ab + ca ) + ( ab + ca ) = 0
    ⇔ 2a ( - b - c ) + 2a ( b + c ) = 0 ( đúng )
    Như vậy:
    3( a - 1 ) ( a - 3 ) = ( a - b ) ( a - c )
    3( b - 1 ) ( b - 3 ) = ( b - a ) ( b - c )
    3( c - 1 ) ( c - 3 ) = ( c - a ) ( c - b )
    Mà a < b < c nên (a - b)(a - c) > 0 ; (b - a)(b - c) < 0 và (c - a)(c - b) > 0
    Do đó:
    ( a - 1 ) ( a - 3 ) > 0
    ( b - 1 ) ( b - 3 ) < 0
    ( c - 1 ) ( c - 3 ) > 0
    Suy ra:
    a < 1 hoặc a > 3
    1 < b < 3
    c < 1 hoặc c > 3
    Mặt khác:
    a < b < c nên:
    3a < a + b + c = 6 < 3c ⇒ a < 2 < c
    Kết hợp với kết quả ở trên được:
    a < 1 < b < 3 < c
    Bây giờ ta sẽ chứng minh a > 0 và c < 4.
    Ta cũng có các hằng đẳng thức sau:
    a ( a - 3 ) - ( 3 - b ) ( 3 - b ) = 0 ( 1 )
    và ( c - 1 ) ( c - 4 ) - ( 1 - a ) ( 1 - b ) ( 2 )
    Như vậy:
    a ( a - 3 ) = ( 3 - b ) ( 3 - c )
    ( c - 1 ) ( c - 4 ) = ( 1 - a ) ( 1 - b )
    Mà ( 3 - b ) ( 3 - c ) < 0 ( do b < 3 < ) và ( 1 - a ) ( 1 - b ) < 0 ( do a < 1 < b ) nên:
    a ( a - 3 ) < 0
    ( c - 1 )( c - 4 ) < 0
    hay:
    0 < a < 3 và 1 < c < 4
    Kết hợp với cm trên ta đc: 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4 • ( điều phải chứng minh )

      bởi Hack Cơ Hanh 30/03/2020
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF