YOMEDIA

# Chứng minh (1+b)/(1+4a^2)+(1+c)/(1+4b^2)+(1+a)/(!+4c^2)>=9/4

cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = $$\dfrac{3}{2}$$

cmr: $$\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}$$

Theo dõi Vi phạm

## Trả lời (1)

• $$VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)$$

$$VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)$$

Xét $$\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)$$ (1)

Xét $$3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}$$ (2)

Từ (1) và (2)

$$\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}$$

$$\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)$$ (3)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

$$\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$$

$$\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca$$

$$\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)$$

$$\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)$$ (4)

Từ (3) và (4)

$$\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}$$ (đpcm)

Dấu " = " xảy ra khi $$a=b=c=\dfrac{1}{2}$$

bởi Đức Bùi 13/09/2018
Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

## Các câu hỏi có liên quan

• ### Tìm GTNN của G=3x^2-6x?

Tìm giá trị nhỏ nhất

31/07/2020

• ### Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của BT P= 1/a+1/b+1/c?

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của BT P= 1/a+1/b+1/c

02/07/2020

31/05/2020

31/05/2020

31/05/2020

30/05/2020

30/05/2020

• ### Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu a + b + c = 0 thì  $$\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right).\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right) = 9$$

30/05/2020

26/05/2020

26/05/2020

• ### Đa thức 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) được phân tích thành nhân tử là

A. ( 2y + z )( 4x + 7y )

B. ( 2y - z )( 4x - 7y )

C. ( 2y + z )( 4x - 7y )

D. ( 2y - z )( 4x + 7y )

26/05/2020

26/05/2020

26/05/2020

25/05/2020

26/05/2020

Thi

07/04/2020

18/03/2020

Bài cô gửi

20/02/2020

• ### Phân tích đa thức y^3-1 thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử

17/12/2019

14/12/2019

YOMEDIA