# Chứng minh (1+b)/(1+4a^2)+(1+c)/(1+4b^2)+(1+a)/(!+4c^2)>=9/4

13/09/2018

cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = $$\dfrac{3}{2}$$

cmr: $$\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}$$

## Câu trả lời (1)

• $$VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)$$

$$VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)$$

Xét $$\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)$$ (1)

Xét $$3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}$$ (2)

Từ (1) và (2)

$$\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}$$

$$\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)$$ (3)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

$$\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$$

$$\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca$$

$$\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)$$

$$\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)$$ (4)

Từ (3) và (4)

$$\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}$$ (đpcm)

Dấu " = " xảy ra khi $$a=b=c=\dfrac{1}{2}$$

bởi Đức Bùi 13/09/2018
Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

## Các câu hỏi có liên quan

• ### Tìm các số nguyên x, y, z thỏa x^3+y^3+z^3=x+y+z+2017

bởi Mai Vàng 13/09/2018

tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn: x3+y3+z3= x+y +z +2017

• ### Tính diện tích hình tam giác cân tại A biết AB=2cm và góc Â =135

bởi Chai Chai 29/04/2019

Diện tích hình tam giác cân tại A biết AB=2cm và góc Â =135

• ### Tính GTLN của biểu thức 12x+9-9x^2

26/04/2019

Giúpmk cái dạng này với:

GTLN của $$12x+9-9x^2$$ ?????

• ### Bài 55 trang 14 sách bài tập toán 8 tập 2

bởi May May 26/04/2019

Bài 55 (Sách bài tập - trang 14)

Tính nhanh giá trị của mỗi biểu thức sau :

a) $$1,6^2+4.0,8.3,4+3,4^3$$

b) $$3^4.5^4-\left(15^2+1\right)\left(15^2-1\right)$$

c) $$x^2-12x^3+12x^2-12x+111$$ tại $$x=11$$

• ### Bài 54 trang 14 sách bài tập toán 8 tập 2

bởi Lê Nhật Minh 26/04/2019

Bài 54 (Sách bài tập - trang 14)

Làm tính nhân :

a) $$\left(x^2-1\right)\left(x^2+2x\right)$$

b) $$\left(x+3y\right)\left(x^2-2xy+y\right)$$

c) $$\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)\left(3-x\right)$$

• ### Bài I.1 trang 14 sách bài tập toán 8 tập 2

bởi Bin Nguyễn 26/04/2019

Bài I.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 14)

Kết quả của phép tính $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)$$ là :

(A) $$x^2-2$$                                  (B) $$x^2+2x-2$$

(C) $$x^2+x-2$$                          (D) $$x^2+2x$$

• ### Bài I.4 trang 15 sách bài tập toán 8 tập 2

bởi Thanh Nguyên 26/04/2019

Bài I.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 15)

Làm tính chia :

a) $$\left(2x^5-5x^3+x^2+3x-1\right):\left(x^2-1\right)$$

b) $$\left(5x^5-2x^4-9x^3+7x^2-18x-3\right):\left(x^2-3\right)$$

• ### Bài I.5 trang 15 sách bài tập toán 8 tập 2

26/04/2019

Bài I.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 15)

Tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau :

a) $$A=2x^2-8x-10$$

b) $$B=9x-3x^2$$

• ### Tính (x - 2y)^2

26/04/2019

Tính

a, (x - 2y)^2

b , ( 2x^2 + 3)^2

c, ( x- 2)(x^2 + 2x +4)

d, (2x -1)^3

• ### Chứng minh đẳng thức (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b) (b+c)(c+d)

21/09/2018

chứng minh các hằng đẳng thức

a) (a+b+c)3-a3-b3-c3=3(a+b) (b+c)(c+d)