YOMEDIA
NONE

Chứng minh (1+b)/(1+4a^2)+(1+c)/(1+4b^2)+(1+a)/(!+4c^2)>=9/4

cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = \(\dfrac{3}{2}\)

cmr: \(\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đức Bùi

    \(VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)\)

    \(VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)

    Xét \(\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)\) (1)

    Xét \(3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}\) (2)

    Từ (1) và (2)

    \(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}\)

    \(\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\) (3)

    Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

    \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca\)

    \(\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\) (4)

    Từ (3) và (4)

    \(\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}\) (đpcm)

    Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

      bởi Đức Bùi 13/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON