YOMEDIA
NONE

:| ; =)) ; :)) Đề : Cho 3 số thức dương thỏa mãn

:| ; =)) ; :))

Đề : Cho 3 số thức dương thỏa mãn

\(xy+yz+zx=1\)

Chứng minh rằng : \(\frac{1}{1+xy+z^2}+\frac{1}{1+yz+x^2}+\frac{1}{1+zx+y^2}\le\frac{9}{5}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Đỗ thị hoàng Thảo

    Lời giải:

    Để cho đẹp, đổi \((xy,yz,xz)\mapsto (a,b,c)\) suy ra \(a+b+c=1\)

    BĐT cần chứng minh tương đương với :

    \(A=\frac{1}{a+b+c+a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{a+b+c+b+\frac{ac}{b}}+\frac{1}{a+b+c+c+\frac{ab}{c}}\leq \frac{9}{5}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{a}{2a^2+ab+bc+ac}+\frac{b}{2b^2+ab+bc+ac}+\frac{c}{2c^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9}{5}\)

    \(\Leftrightarrow A=\sum \frac{a(ab+bc+ca)}{2a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9(ab+bc+ac)}{5}\)

    Để ý rằng \(A=\sum \left ( a-\frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac} \right )=1-\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}\)

    Cauchy-Schwarz:

    \(\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}=\sum \frac{2a^4}{2a^3+a^2b+abc+a^2c}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)+3abc}\)

    Giờ đặt \(ab+bc+ac=q,abc=r\)

    Phân tích:

    \(2(a^3+b^3+c^3)+\sum ab(a+b)+3abc=2(a^3+b^3+c^3-3abc)+(a+b+c)(ab+bc+ac)+6abc\)

    \(=2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+ab+bc+ac+6abc\)

    \(=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)+6abc=2-5q+6r\)

    Do đó \(A\leq 1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\). Giờ chỉ cần chỉ ra \(1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\leq \frac{9q}{5}\Leftrightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq 0\)

    Theo AM-GM dễ thấy

    \(q^2=(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=3r\)

    Và \(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow q\leq \frac{1}{3}\)

    \(\Rightarrow 9q-5<0\rightarrow 6r(9q-5)\geq 2q^2(9q-5)\) (đổi dấu)

    \(\Rightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq q(3-5q)+2q^2(9q-5)=q(2q-1)(3q-1)\geq 0\)

    BĐT trên hiển nhiên đúng vì \(q\leq \frac{1}{3}<\frac{1}{2}\Rightarrow (2q-1)(3q-1)\geq 0\)

    Chứng minh hoàn tất.

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

    P/s: Làm BĐT bần cùng lắm mới xài pqr, không ngờ phải xài thật :)

      bởi Đỗ thị hoàng Thảo 17/04/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF