Tìm n để phân số B=4/(n-3) tồn tại

1. Giải

a) Để B tồn tại thì \(\dfrac{4}{n-3}\) là phân số

\(\Rightarrow\left(n-3\right)\ne0\)\(\left(n\in Z\right)\)

\(\Rightarrow n\ne3\)

Vậy B tồn tại với mọi \(n\in Z\) và \(n\ne3\).

b) Để B à số nguyên thì \(\dfrac{4}{n-3}\) là số nguyên.

\(\Rightarrow4\) \(⋮\) \(\left(n-3\right)\)

\(\Rightarrow\left(n-3\right)\inƯ\left(4\right)\)

\(\Rightarrow\left(n-3\right)\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

Ta có bảng sau:

2. Giải

a) Ta có: \(C=\dfrac{2n+15}{n+1}=\dfrac{2n+2+13}{n+1}=\dfrac{2\left(n+1\right)+13}{n+1}=2+\dfrac{13}{n+1}\)

Để C là số nguyên thì \(\dfrac{13}{n+1}\) là số nguyên.

\(\Rightarrow13\) \(⋮\) \(\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\inƯ\left(13\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\in\left\{\pm1;\pm13\right\}\)

Ta có bảng sau:

b) Gọi ƯCLN\(\left(2n+15;n+1\right)=d.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2n+15\right)⋮d\\\left(n+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2n+15\right)⋮d\\\left(2n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+15\right)-\left(2n-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(13\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm13\right\}\)

Để C là phân số tối giản thì \(d=1\)

\(\Rightarrow\left(2n+15\right)\) \(⋮̸\) \(13\) hoặc \(\left(n+1\right)\) \(⋮̸\) \(13\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2n+15\right)\notin B\left(13\right)\\\left(n+1\right)\notin B\left(13\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi \(n\in Z\) và \(\left(2n+15\right)\) \(⋮̸\) \(13\) hoặc \(\left(n+1\right)\) \(⋮̸\) \(13\) thì C là p/s tối giản.