Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4), B(1;2), đỉnh C thuộc đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh C.

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2;2} \right),AB = 2\sqrt 2 \) 

Phuơng trình đuờng thẳng AB: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\) 

\(C \in d:x + 2y + 1 = 0 \Rightarrow C\left( { - 1 - 2t;t} \right)\) 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra: \(G\left( {1 - \frac{2}{3}t;2 + \frac{t}{3}} \right)\)

Khoảng cách từ G đến AB: \({d_{\left( {G;AB} \right)}} = \frac{{\left| t \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

Vì diện tích GAB bằng 3 đơn vị nên ta có:

\(\frac{1}{2}{d_{\left( {G;AB} \right)}}.AB = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3 \Rightarrow C\left( { - 7;3} \right)\\
t =  - 3 \Rightarrow C\left( {5; - 3} \right)
\end{array} \right.\)