Tính dộ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là \(x;y\,\,\,\left( {cm} \right);\,\left( {x;y > 0} \right)\)

Diện tích tam giác vuông ban đầu là \(S = \dfrac{1}{2}xy\,\left( {c{m^2}} \right)\)

 Nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì ta được tam giác vuông mới có hai cạnh góc vuông là \(\left( {x + 3} \right)\,cm;\,\left( {y + 3} \right)\,cm\) nên diện tích tam giác vuông mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)\,\left( {c{m^2}} \right)\), mà diện tích tam giác vuông lúc này tăng thêm \(36\,c{m^2}\) so với ban đầu nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - 36 = \dfrac{1}{2}xy\)   (1)

Nếu giảm một cạnh 2cm và giảm cạnh kia 4cm thì ta được tam giác vuông mới có hai cạnh góc vuông là \(\left( {x - 2} \right)\,cm;\,\left( {y - 4} \right)\,cm\) \(\left( {x > 2;y > 4} \right)\) nên diện tích tam giác vuông mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right)\,\left( {c{m^2}} \right)\), mà diện tích tam giác vuông lúc này giảm đi \(26\,c{m^2}\) so với ban đầu nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + 26 = \dfrac{1}{2}xy\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - 36 = \dfrac{1}{2}xy\\\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + 26 = \dfrac{1}{2}xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 3x + 3y + 9 - 72 = xy\\xy - 4x - 2y + 8 + 52 = xy\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 63\\ - 4x - 2y =  - 60\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\ - 4\left( {21 - y} \right) - 2y =  - 60\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\ - 84 + 4y - 2y =  - 60\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\2y = 24\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 12\\x = 21 - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 12\\x = 9\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu là \(9cm;12cm.\)