Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng (d) để M{A^2} + M{B^2} đạt giá trị nhỏ nhất.

Đoạn thẳng AB có trung điểm I(2;-1;4) ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} = \overrightarrow {M{A^2}}  + \overrightarrow {M{B^2}}  = {(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} )^2}\)

\( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2} + M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}\)

\( = 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} ) + \frac{{A{B^2}}}{2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}.\)

Từ đó, ta thấy \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là M là hình chiếu vuông góc của I trên (d).

Cách 1: Chuyển phương trình đường thẳng (d) về dạng tham số:

\((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.,\,\,t \in \mathbb{R} \Rightarrow (1 + t;2 - 2t;3 + 2t) \Rightarrow \overrightarrow {IM} (t - 1;3 - 2t;2t - 1).\)

Đường thẳng (d) có 1 vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_d}}  = (1; - 2;2).\)

Để M là hình chiếu vuông góc của I trên (d) thì điều kiện là:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IM}  \bot \overrightarrow {{a_d}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{a_d}}  = 0 \Leftrightarrow t - 1 - 2(3 - 2t) + 2(2t - 1) = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(2;0;5).\end{array}\)

Vậy điểm M(2;0;5) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Cách 2: Có thể dùng phương pháp loại trừ.

Điểm M ở phương án C không thuộc (d) nên loại

Trong các phương án đưa ra ở A,B,D có các điểm M đều thuộc (d) và điểm M ở phương án D có \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất nên loại phương án A, B.