Tìm hai số biết tổng là 7 và tổng nghịch đảo là \(\dfrac{7}{{12}}\).

Gọi hai số phải tìm là x và y.

Do hai số có tổng bằng 7 nên ta có phương trình x + y = 7 (1).

Do hai số có tổng nghịch đảo là \(\dfrac{7}{{12}}\) nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{{12}}\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\\dfrac{{x + y}}{{xy}} = \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\\dfrac{7}{{xy}} = \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\xy = 12\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí Vi-ét đảo \(\Rightarrow x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 7X + 12 = 0 (1)\).

Ta có : \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.12 = 1\) 

⇒ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 

\(\left[ \begin{array}{l}{X_1} = \dfrac{{7 + 1}}{2} = 4\\{X_2} = \dfrac{{7 - 1}}{2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy hai số cần tìm là 3 và 4.