Số nghiệm của phương trình ${{\sin }^{2}}2x-\cos 2x+1=0$ trên đoạn $\left[ -\pi ;\,4\pi \right]$ là?

Phương trình ${{\sin }^{2}}2x-\cos 2x+1=0\Leftrightarrow -{{\cos }^{2}}2x-\cos 2x+2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=1 \\ & \cos 2x=-\,2\left( loại \right) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 2x=1\Leftrightarrow 2x=k2\pi \Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}.$

Do $x\in \left[ -\pi ;\,4\pi  \right]\xrightarrow{{}}-\,\pi \le k\pi \le 4\pi \Leftrightarrow -\,1\le k\le 4\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k\in \left\{ -1;0;1;2;3;4 \right\}.$

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn.