M(a;b;c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T=3MA^2+2MB^2+MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0\)   

Khi đó: 

Ta có: \(T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2} = 3\overrightarrow {M{A^2}} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} + \overrightarrow {M{C^2}}\)    

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 6M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} \end{array}\)

\(= 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}\) nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Mặt cầu (S) có tâm là K(1;1;1) suy ra phương trình đường thẳng KI là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {y = 1 + 3t} \end{array}}\\ {z = 1 - 4t} \end{array}} \right.\) 

Giao điểm của KI và (S) là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ z = 1 - 4t\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1 \end{array} \right.\) 

Giải hệ trên ta được hai giao điểm là: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_1}\left( {1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}} \right)}\\ {{M_2}\left( {1;\frac{2}{5};\frac{9}{5}} \right)} \end{array}} \right.\)   

Tính \({M_1}I = 4;\,{M_2}I = 6 \Rightarrow {M_1}\) là điểm thỏa mãn YCBT nên \(a + b + c = \frac{{14}}{5}.\)