Hai nhóm thợ cùng làm một công trình trong 32 ngày thì xong. Cho biết nếu chỉ làm một mình thì thời gian để hoàn thành của mỗi nhóm là bao lâu?

Gọi thời gian để nhóm 1 một mình hoàn thành công trình là x (ngày), thời gian để nhóm 2 một mình hoàn thành công trình là y (ngày) \(\left( {x,y > 0} \right)\).

Trong 1 ngày nhóm 1 làm được \(\dfrac{1}{x}\) công trình, nhóm 2 làm được \(\dfrac{1}{y}\) công trình.

Trong 1 ngày cả 2 nhóm làm được \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) công trình.

Do 2 nhóm cùng làm một công trình trong 32 ngày thì xong nên ta có phương trình 

\(32\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

Nếu nhóm 1 làm trong 6 ngày và nhóm 2 làm trong 12 ngày thì xong được 25% công trình nên ta có phương trình

\(\dfrac{6}{x} + \dfrac{{12}}{x} = \dfrac{1}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}32\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1\\\dfrac{6}{x} + \dfrac{{12}}{x} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)

Đặt \(a = \dfrac{1}{x};\,\,\,b = \dfrac{1}{y}\) ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}32a + 32b = 1\\6a + 12b = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}32a + 32b = 1\\24a + 48b = 1\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a - 16b = 0\\32a + 32b = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\64b + 32b = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\96b = 1\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{48}}\\b = \dfrac{1}{{96}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{48}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{96}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 48\\y = 96\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy thời gian để nhóm 1 một mình hoàn thành công trình là 48 ngày, thời gian để nhóm 2 một mình hoàn thành công trình là 96 ngày.