Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = a,AB = asqrt 3, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD)

Gọi I là trung điểm của SC. Suy ra IC=IS (1)

Gọi \(H = AC \cap BD \Rightarrow H\) là tâm của hình chữ nhật ABCD.

Xét tam giác SAC, có HI là đường trung bình \( \Rightarrow HI//SA \Rightarrow HI \bot (ABCD)\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng HI là tập hợp các điểm cách đều A, B, C,D (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC=ID=IS

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I và bán kính r = IC

Xét tam giác ABC vuông tại B, có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}}  = 2a.\)

Xét tam giác SAB vuông tại A, có \(SA = AB.\tan {30^0} = a\)

Xét tam giác SAC vuông tại A, có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

\(r = IC = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

Thể tích mặt cầu bán kính r là: \(V = \frac{4}{3}\pi .{r^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}\) (đvtt)