Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O.Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).a.

a) Ta có \(BC \bot SA\left( {do\;SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) (1), \(BC \bot AB\) (do ABCD là hình vuông) (2)

và \(SA,AB \subset \left( {SAB} \right)\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)

(Có thể áp dụng định lí 3 đường vuông góc để chứng minh)

b) Xét 2mp (BDM) và (ABCD), ta có

\(\left. \begin{array}{l}
MO\parallel SA\\
SA \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow MO \bot \left( {ABCD} \right)\) (1)

Mà \(MO \subset \left( {BDM} \right)\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {BDM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).

c) Ta có SO là hình chiếu của SB lên mp(SAC)

Do đó góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là \(\widehat {BSO}\). 

Xét tam giác vuông SOB, có: \(\sin \widehat {BSO} = \frac{{OB}}{{SB}}\). Mà

\(OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},\quad SB = \sqrt {{a^2} + {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{3})}^2}}  = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \sin \widehat {BSO} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)

\( \Rightarrow \widehat {BSO} \approx 37,{5^0}\)

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là: \(\widehat {BSO} \approx 37,{5^0}\)

(Có thể chỉ cần tính và kết luận theo \(\sin \widehat {BSO} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\))