Cho hàm số f(x)=(3-sqrt2)^(x^2)-(3-sqrt2)^(-x^2)

Ta có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} > {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\)

\(\Leftrightarrow {x^3} > - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x > - 1 \end{array} \right.\)                       

Từ đó, ta được khẳng định 1 đúng và khẳng định 2 sai.

Lại có \(f\left( x \right) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 - \sqrt 2\)

 \(\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{{x^3}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} - \frac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{ - {x^2}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} < 1 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2} - 1}} < 1\)

\(\Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}} \right)^{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}.\)                       

Từ đó, ta được khẳng định 3 đúng.

Ta có  \(f\left( x \right) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 + \sqrt 2\)    

 \(\Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < \frac{7}{{3 - \sqrt 2 }}\)

\(\Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 + {x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 - {x^2}}} < 7 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 + {x^3}}} < 7 + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 - {x^2}}}.\)

Từ đó, ta được khẳng định 4 đúng.