Cho đường thẳng (d:3x + y + 3 = 0).

Lấy A(0;-3) và B(-1;0) thuộc d: 3x + y + 3 = 0

Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép quay tâm I, góc quay - 180⁰

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = {x_A}\cos \left( { - {{180}^0}} \right) - {y_A}\sin \left( { - {{180}^0}} \right)\\
{y_{A'}} = {x_A}\sin \left( { - {{180}^0}} \right) + {y_A}\cos \left( { - {{180}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = 0\\
{y_{A'}} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;3} \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = {x_B}\cos \left( { - {{180}^0}} \right) - {y_B}\sin \left( { - {{180}^0}} \right)\\
{y_{B'}} = {x_B}\sin \left( { - {{180}^0}} \right) + {y_B}\cos \left( { - {{180}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = 1\\
{y_{B'}} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {1;0} \right)
\end{array}\)

Gọi A'', B'' lần lượt là ảnh của A', B' qua phép tịnh tiến theo vec tơ \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;1} \right)\)

Ta có:

\(left\{ \begin{array}{l}
{x_{A''}} = {x_{A'}} + \left( { - 2} \right)\\
{y_{A''}} = {y_{A'}} + 1
\end{array} \right. \Rightarrow A''\left( { - 2;4} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_{B''}} = {x_{B'}} + \left( { - 2} \right)\\
{y_{B''}} = {y_{B'}} + 1
\end{array} \right. \Rightarrow B''\left( { - 1;1} \right)\)

\(\overrightarrow {A''B''}  = \left( {1; - 3} \right)\)

Gọi d' là ảnh của d qua phép dời hình trên.

Khi đó d' đi qua A''(-2;4) và có VTPT: \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) có phương trình là:

\(d:' 3x+y-8=0\).