Đề thi HSG Toán 8 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tiền Hải có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1: (4,5 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24

2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu a + b + c = 0 thì  \(\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right).\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right) = 9\)

3) Cho A = p⁴ trong đó p là số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của A là số chính phương.

Bài 2: (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{x - 8}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\)  (Với\(x \ne 1)\)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 3x + 2 = 0\)

2. Chứng minh rằng: \(f(x) = {({x^2} + x - 1)^{2018}} + {({x^2} - x + 1)^{2018}} - 2\) chia hết cho \(g(x) = {x^2} - x\)

Bài 3: (3,5 điểm)   

1) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) \(\frac{{x - m}}{{x + 3}} + \frac{{x - 3}}{{x + m}} = 2\)

2) Giải phương trình:  \(2x{(8x - 1)^2}(4x - 1) = 9\)

Bài 4 (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP

c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{P^2}}} + \frac{1}{{4A{F^2}}}\)

Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 8 Phòng GD&ĐT Tiền Hải:

Bài 1:

1.

M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 

\(M = {\rm{ }}({x^2} + 7x + 10)({x^2} + 7x + 12) - 24\)

\(M{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} + 7x + 11 - 1)({x^2} + 7x + 11 + 1) - 24\)

\(M{\rm{ }} = {\rm{ }}{({x^2} + 7x + 11)^2} - {\rm{ }}25\)

\(M = {\rm{ }}({x^2} + 7x + 6){\rm{ }}({x^2} + 7x + 16)\)

\(M{\rm{ }} = (x + 1)(x + 6)({x^2} + 7x + 16)\)

2. Các ước dương của A là 1, p, p², p³, p⁴

Tổng các ươc là \(1 + p + {p^2} + {p^3} + {p^4} = {n^2}\)\((n \in N)\)

\( \Rightarrow 4 + 4p + 4{p^2} + 4{p^3} + 4{p^4} = 4{n^2}\)

Ta có \(4{p^4} + 4{p^3} + {p^2} < 4{n^2} < 4{p^4} + {p^2} + 4 + 4{p^3} + 8{p^2} + 4p\)

\( \Rightarrow {(2{p^2} + p)^2} < {(2n)^2} < {(2{p^2} + p + 2)^2} \Rightarrow {(2n)^2} = {(2{p^2} + p + 1)^2}\)

Do đó: \(4{p^4} + 4{p^3} + 4{p^2} + 4p + 4 = 4{p^4} + 4{p^3} + 5{p^2} + 2p + 1 \Leftrightarrow {p^2} - 2p - 3 = 0\)

p₁ = -1(loại); p₂ = 3

3. Đặt  \(\frac{{a - b}}{c} = x;\frac{{b - c}}{a} = y;\frac{{c - a}}{b} = z \Rightarrow \frac{c}{{a - b}} = \frac{1}{x};\frac{a}{{b - c}} = \frac{1}{y};\frac{b}{{c - a}} = \frac{1}{z}\) (1) \( \Leftrightarrow (x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 9\)

Ta có \((x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z}} \right)\)(2)

Ta lại có: \(\frac{{y + z}}{x} = \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right).\frac{c}{{a - b}} = \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}.\frac{c}{{a - b}}\)

\( = \frac{{c(a - b)(c - a - b)}}{{ab(a - b)}} = \frac{{c(c - a - b)}}{{ab}} = \frac{{c\left[ {2c - (a + b + c)} \right]}}{{ab}} = \frac{{2{c^2}}}{{ab}}\)

Tương tự ta có \(\frac{{x + z}}{y} = \frac{{2{a^2}}}{{bc}};\frac{{x + y}}{z} = \frac{{2{b^2}}}{{ac}}\)

\((x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{{2{c^2}}}{{ab}} + \frac{{2{a^2}}}{{bc}} + \frac{{2{b^2}}}{{ac}} = 3 + \frac{2}{{abc}}({a^3} + {b^3} + {c^3})\)

Vì \(a + b + c = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)

Do đó \((x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{2}{{abc}}.3abc = 3 + 6 = 9\)
 

Trên đây là một phần trích nội dung của Đề thi học sinh giỏi Toán 8  năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tiền Hải. Để xem tiếp nội dung lời giải còn lại các em vui lòng đăng nhập vào website Hoc247.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.