Bài tập 72 trang 88 SBT Toán 8 Tập 1

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Cách dựng:

- Dựng điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\)

- Dựng điểm \(E\) đối xứng với \(A\) qua tia \(Oy\)

- Nối \(DE\) cắt \(Ox\) tại \(B, Oy\) tại \(C\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Vì \(\widehat {xOy} < {90^0}\) nên \(DE\) luôn cắt \(Ox\) và \(Oy\) do đó \(∆ ABC\) luôn dựng được.

Chứng minh:

Chu vi \(∆ ABC\) bằng \(AB + BC + AC\)

Vì \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\) nên \(Ox\) là đường trung trực của \(AD\)

\(⇒ AB = BD\) ( tính chất đường trung trực)

\(E\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy\) nên \(Oy\) là đường trung trực của \(AE\)

\(⇒AC = CE\) ( tính chất đường trung trực)

Suy ra: \(AB + BC + AC \)\(= BD + BC + CE = DE \;\;(1)\)

Lấy \(B’\) bất kì trên \(Ox,\) \(C’\) bất kì trên tia \(Oy.\) Nối \(C’E,\) \(C’A,\) \(B’A,\) \(B’D.\)

Ta có: \(B’A = B’D\) ( tính chất đường trung trực)

            \(C’A = C’E\) (tính chất đường trung trực)

Chu vi \(∆ AB’C’\) bằng \(AB’ + AC’ + B’C’\)\( = B’D + B’C’ +C’E \;\;(2)\)

Vì \(DE ≤ B’D + B’C’ + C’E\) (dấu bằng sảy ra khi \(B’\) trùng \(B,\) \(C’\) trùng \(C\))

nên chu vi của \(∆ ABC ≤\) chu vị của \(∆ A’B’C’\)

Vậy \(∆ ABC\) có chu vi bé nhất.

-- Mod Toán 8 HỌC247