Bài tập 3.19 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE vuông cân tại đỉnh A rồi dựng hình bình hành AEID.
a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau.
b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC.
c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD.
d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh KC = KI và KC vuông góc với KI. (Gợi ý: Chứng minh hai tam giác AKI và BKC bằng nhau).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 3.19
a) Hình bình hành AEID có (hai góc kề một cạnh của hình bình hành)
Ta có:
Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A, suy ra
Suy ra
Vậy
Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB
∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE
Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.
Xét ∆ADI và ∆BAC có
AD = AB, , DI = AC (chứng minh trên)
Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).
b) Giả sử AI cắt BC ở H .
Ta có: , mà (do ∆DAB vuông cân tại A)
Suy ra
Mà (do ∆ADI = ∆BAC) nên
Trong ∆ABH có:
Suy ra hay AI ⊥ BC.
c) Ta có và
Do đó
Xét ∆BAE và ∆DAC có:
AB = AD; ; AC = AE
Do đó ∆BAE = ∆DAC (c.g.c)
Suy ra
Gọi J là giao của DC và BE, ta có
Gọi P là giao điểm của AB và CD.
Tam giác ADP vuông tại A nên
Mà và (đối đỉnh)
Do đó , suy ra hay CD vuông góc với BE.
d) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó
Khi đó nên DABK vuông cân tại K, do đó KA = KB
Ta có:
Mặt khác (do DABD vuông cân tại A nên
Do đó .
Xét DAKI và ∆BKC có:
AK = BK, , AI = BC (do ∆ADI = ∆BAC)
Suy ra ∆AKI = ∆BKC (c.g.c) nên KI = KC và
Ta có:
Mà nên hay nên KI và KC vuông góc.
-- Mod Toán 8 HỌC247
Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.
