Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phép chiếu song song

Các tia nắng song song theo phương I khi chiếu tới biển báo giao thông hình chữ nhật ABCD tạo thành bóng trên mặt đường (xem hình bên). Bóng của biển báo này có dạng hình gì? Tại sao?

Trong hoạt động mở đầu:

a) Các tia sáng \(AA',BB',DD'\) có song song với nhau hay không?

b) Nêu cách xác định bóng \(C'\) của điểm \(C\) trên mặt đường.

Tìm phương chiếu, mặt phẳng chiếu của phép chiếu song song được mô tả trong Hình 2.

Tìm ảnh của hình hộp \(ABEF.DCGH\) qua phép chiếu song song được mô tả trong Hình 3.

Trong Hình 4, xét phép chiếu theo phương \(l\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa đường thẳng \(a\) và song song với phương chiếu.

a) Khi điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(a\) thì ảnh \(M'\) của nó thay đổi ở đâu?

b) Từ đó hãy chỉ ra ảnh của đường thẳng \(a\) qua phép chiếu theo phương \(l\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Trong Hình 5, xét phép chiếu theo phương \(l\) với mặt phẳng chiếu \(\left( P \right)\). Biết \(a\parallel b\) với \(a \subset \left( Q \right)\) và \(b \subset \left( R \right)\). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hình chiếu \(a',b'\) của \(a,b\) trong hai trường hợp: \(\left( Q \right)\parallel \left( R \right);\left( Q \right) \equiv \left( R \right)\).

Cho hình thang \(ABCD\) có đáy lớn \(AB\) và \(AB = 2CD\), hình chiếu song song của \(ABCD\) là tứ giác \(A'B'C'D'\). Chứng minh rằng \(A'B'C'D'\) cũng là một hình thang và \(A'B' = 2C'D'\).

Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\) và hình chiếu song song của tam giác \(ABC\) là tam giác \(A'B'C'\). Chứng minh rằng hình chiếu \(M'\) của \(M\) là trung điểm của \(B'C'\) và hình chiếu \(G'\) của \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\).

Quan sát Hình 7 và cho biết các tia nắng song song đã tạo ra hình chiếu của hình hộp như thế nào trên nền nhà.

Gọi tên các hình khối có hình biểu diễn là các hình trong Hình 10.

Vẽ hình biểu diễn của một hình chóp tam giác \(S.ABC\) đặt trên một hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó;

b) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó;

c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau;

d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.

Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.

Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn.

Cho hai điểm \(A,B\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\). Giả sử đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(O\). Gọi \(A'\) và \(B'\) lần lượt là hình chiếu song song của \(A\) và \(B\) trên \(\left( \alpha \right)\) theo phương của đường thẳng \(d\). Ba điểm \(O,A',B'\) có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn \(d\) sao cho:

a) \(A'B' = AB\);

b) \(A'B' = 2AB\).

Vẽ hình biểu diễn của:

a) Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều;

b) Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều;

c) Hình hộp.

Cho mặt phẳng (P), tam giác ABC và đường thẳng ℓ cắt mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng AB, BC, CA đều không song song hoặc trùng với đường thẳng ℓ. Xác định hình chiếu song song của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ trong mỗi trường hợp sau:

a) Mặt phẳng (ABC) không song song với ℓ;

b) Mặt phẳng (ABC) song song hoặc chứa ℓ.

Trong Hình 8, hãy cho biết hình nào là hình biểu diễn của hình trụ?

Trong các hình sau, hình nào là hình biểu diễn của hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều?

Vẽ hình biểu diễn của các vật sau?