Có hai điện tích điểm \({q_1} = q = {4.10^{ - 9}}C\) và \({q_2} = 4q = {16.10^{ - 9}}C\) đặt cách nhau một khoảng r = 1cm trong không khí. Cần đặt điện tích thứ ba \({q_0}\) ở đâu, có dấu và độ lớn như thế nào để hệ ba điện tích trên nằm cân bằng? Biết hai điện tích \({q_1}\) và \({q_2}\) để tự do.

\({q_1}\) đặt tại A, \({q_2}\) đặt tại B, \({q_0}\) tại C

- Gọi lực do \({q_1}\) tác dụng lên \({q_3}\) là \({F_{13}}\);   lực do \({q_2}\) tác dụng lên \({q_3}\) là \({F_{23}}\)

- Để \({q_3}\) nằm cân bằng: \(\overrightarrow {{F_{13}}}  =  - \overrightarrow {{F_{23}}} \)

- Do \({q_1},{q_2}\) cùng dấu \( \Rightarrow {q_0}\) nằm trong khoảng \(AB\)

Lại có : \({F_{10}} = {F_{20}} \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_0}} \right|}}{{A{C^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_2}{q_0}} \right|}}{{B{C^2}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = \left| {\dfrac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right| = \dfrac{1}{4} \Rightarrow BC = 2AC\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có : \(AC + BC = 1cm\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra : \(\left\{ \begin{array}{l}AC = \dfrac{1}{3}cm\\BC = \dfrac{2}{3}cm\end{array} \right.\)

- Gọi \(\overrightarrow {{F_{01}}} ,\overrightarrow {{F_{21}}} \) lần lượt là lực do \({q_0},{q_2}\) tác dụng lên \({q_1}\)

+ Điều kiện cân bằng của \({q_1}\):

\(\overrightarrow {{F_{01}}}  + \overrightarrow {{F_{21}}}  = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{F_{01}}}  =  - \overrightarrow {{F_{21}}} \,\,\,\left( 3 \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_{01}}} \) ngược chiều \(\overrightarrow {{F_{21}}} \)

Ta suy ra, \({F_{01}}\) là lực hút \( \Rightarrow {q_0} < 0\)

+ Lại có: \({F_{01}} = {F_{21}} \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {{q_0}{q_1}} \right|}}{{A{C^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_2}{q_1}} \right|}}{{A{B^2}}}\)

\( \Rightarrow \left| {{q_0}} \right| = \left| {{q_2}} \right|\dfrac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = {16.10^{ - 9}}\dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2}}}{{{1^2}}} = \dfrac{{16}}{9}{.10^{ - 9}}C\)

\( \Rightarrow {q_3} =  - \dfrac{{16}}{9}{.10^{ - 9}}C\)  (do lập luận suy ra \({q_0} < 0\) ở trên) (3)

- Gọi \(\overrightarrow {{F_{02}}} ,\overrightarrow {{F_{12}}} \) lần lượt là lực do \({q_0},{q_1}\) tác dụng lên \({q_2}\)

+ Điều kiện cân bằng của \({q_1}\): \(\overrightarrow {{F_{02}}}  + \overrightarrow {{F_{12}}}  = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{F_{02}}}  =  - \overrightarrow {{F_{12}}} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_{02}}} \) ngược chiều \(\overrightarrow {{F_{12}}} \) \( \Rightarrow {F_{02}}\) là lực hút \( \Rightarrow {q_0} < 0\)

Lại có: \({F_{02}} = {F_{12}} \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {{q_0}{q_2}} \right|}}{{C{B^2}}} = k\dfrac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{A{B^2}}}\)

\( \Rightarrow \left| {{q_0}} \right| = \left| {{q_1}} \right|\dfrac{{C{B^2}}}{{A{B^2}}} = {4.10^{ - 9}}\dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}}{{{1^2}}} = \dfrac{{16}}{9}{.10^{ - 9}}C\)

\( \Rightarrow {q_3} =  - \dfrac{{16}}{9}{.10^{ - 9}}C\)  (do lập luận suy ra \({q_0} < 0\) ở trên) (4)

Vậy với \({q_3} =  - \dfrac{{16}}{9}{.10^{ - 9}}C\) thì hệ 3 điện tích cân bằng.