YOMEDIA
NONE

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)(\(AB< AC\)), \(I\) là

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)(\(AB< AC\)), \(I\) là trung điểm \(BC\). Cho \(D\) đối xứng với \(I\) qua \(AC\), \(ID\perp AC\) tại \(N\). \(BN\) cắt \(DC\) tại \(K\). CMR : \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyễn Công

    Cách 1: A B C I M N D K 1 1 2 Ta có: ΔABC vuông tại A (GT)

    ⇒ AB ⊥ AC

    mà ID ⊥ AC tại N (GT)

    ⇒ AB // ID (t/c quan hệ từ vg góc đến song song)

    hay AB // IN (N∈ID)

    Xét ΔABC có:

    I là trung điểm của BC (GT)

    IN // AB (CMT)

    ⇒ N là trung điểm của AC (đ/lí đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác...)

    ⇒ AN = CN (t/c trung điểm đoạn thẳng)

    Vì D đối xứng I qua AC (GT)

    ⇒ AC là đường trung trực của DI (đ/n 2 điểm đối xứng qua 1 đường thẳng)

    ⇒ N là trung điểm của ID (đ/n đường trung trực của đoạn thẳng)

    ⇒ IN=DN (đ/n trung điểm đoạn thẳng)

    Xét ΔANI và ΔCND có:

    AN = CN (CMT)

    \(\widehat{ANI}=\widehat{CND}\) (2 góc đối đỉnh)

    IN = DN (CMT)

    ⇒ ΔANI và ΔCND (c.g.c)

    \(\left\{{}\begin{matrix}AI=CD\left(2-cạnh-tương-ứng\right)\\\widehat{I}_1=_{ }\widehat{D}\left(2-góc-tương-ứng\right)\end{matrix}\right.\)

    Gọi M là giao điểm của AI và BK

    Xét ΔINM và ΔDNK có:

    \(\widehat{I_1}=\widehat{D}\left(CMT\right)\)

    IN = DN (CMT)

    \(\widehat{N_1}=\widehat{N_2}\) (2 góc đối đỉnh)

    ⇒ ΔINM = ΔDNK (g.c.g)

    ⇒ IM = DK (2 cạnh tương ứng)

    Xét ΔABC có:

    I là trung điểm của BC (GT)⇒ AI là đường trung tuyến ứng với BC

    N là trung điểm của AC (CMT)⇒ BN là đường trung tuyến ứng với ac

    mà AI cắt BN tại M

    ⇒ M là trọng tâm của ΔABC (t/c 3 đường trung tuyến trong Δ)

    ⇒ \(IM=\dfrac{1}{3}AI\) (t/c 3 đường trung tuyến)

    mà IM= DK (CMT); AI=CD (CMT)

    ⇒ \(DK=\dfrac{1}{3}CD\)

    hay \(\dfrac{DK}{CD}=\dfrac{1}{3}\)

    Cách 2:

    A B C I N D K M

    Gọi M là trung điểm CK

    Xét ΔBCK có:

    I là trung điểm cuả BC (GT)

    M là trung điểm của CK (c/vẽ)

    ⇒ IM là đường TB của ΔBCK (đ/n đường TB của Δ)

    ⇒ IM // BK (t/c đường TB của Δ)

    hay IM // NK

    CM cho N là trung điểm DI như cách 1

    Xét Δ DIM có:

    N là trung điểm DI (CMT)

    NK // IM

    ⇒ K là trung điểm DM (đ/lí đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác...)

    ⇒ DK = KM (t/c trung điểm đoạn thẳng)

    mà KM = CM ( M là trung điểm CK)

    ⇒ DK = KM = CM

    ⇒ \(DK=\dfrac{1}{3}DC\)

    hay \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\)

      bởi Nguyễn Công 08/07/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF