Đề thi HSG môn Toán lớp 11 Sở GD & ĐT Nghệ An năm 2018 - 2019

a) Giải phương trình \(\cos 2x + 7\cos x - \sqrt 3 \left( {\sin 2x - 7\sin x} \right) = 8.\)

b) Giải hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + \sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = \sqrt {{y^2} + 1}  - y - 1\quad \quad \;(1)\\
{x^3} - \left( {3{x^2} + 2{y^2} - 6} \right)\sqrt {2{x^2} - y - 2}  = 0\quad (2)
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {x,y \in R} \right).\)

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,5,\,\,6,\,\,7,\,\,8,\,\,9.\) Xác định số phần tử của S. Lấy ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và G là trọng tâm tam giác ACD. Viết phương trình đường thẳng AD, biết rằng M(1;2) và \(G\left( {\frac{5}{3};\;0} \right).\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD) nội tiếp đường tròn tâm O và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}.\) Gọi M là trung điểm của cạnh SA

a) Chứng minh rằng \(MO \bot \left( {ABCD} \right).\) 

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Chứng minh rằng \(\cos \varphi  < \frac{{BC}}{{SA}}.\)

a) Cho dãy số \((u_n)\) biết \({u_1} = 12,\,\;\,\frac{{2{u_{n + 1}}}}{{{n^2} + 5n + 6}} = \frac{{{u_n} + {n^2} - n - 2}}{{{n^2} + n}}\) với \(n \ge 1.\) Tìm \(\lim \frac{{{u_n}}}{{2{n^2} + 1}}.\)

b) Cho ba số thực \(a, b, c\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc + 32.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(P = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\left| {a - b} \right| + \left| {b - c} \right| + \left| {c - a} \right|} \right).\)