Giải phương trình căn(3x^2-6x-6)=3.căn (2-x)^5+(7x-19).căn (2-x)

1) Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  = 3\sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^5}}  + \left( {7x - 19} \right)\sqrt {2 - x} .\)

Với điều kiện \(x \le 1 - \sqrt 3 \), phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  = 3{\left( {2 - x} \right)^2}\sqrt {2 - x}  + \left( {7x - 19} \right)\sqrt {2 - x} \\
 \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  = \sqrt {2 - x} \left( {3{x^2} - 5x - 7} \right)\, \Leftrightarrow \,\sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  - \sqrt {2 - x}  = \sqrt {2 - x} \left( {3{x^2} - 5x - 8} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 5x - 8}}{{\sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  + \sqrt {2 - x} }} = \sqrt {2 - x} \left( {3{x^2} - 5x - 8} \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
3{x^2} - 5x - 8 = 0\\
1 = \sqrt {2 - x} \left( {\sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  + \sqrt {2 - x} } \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

(do \(\sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  + \sqrt {2 - x}  > 0,\,\,\forall x \le 1 - \sqrt 3 \)).

+) \(3{x^2} - 5x - 8 = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,x =  - 1\) (thỏa mãn đk)  hoặc \(x = \frac{8}{3}\) (không thỏa mãn đk)

+)  \(1 = \sqrt {2 - x} \left( {\sqrt {3{x^2} - 6x - 6}  + \sqrt {2 - x} } \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,1 = 2 - x + \sqrt {3{x^2} - 6x - 6} .\sqrt {2 - x} \)

\( \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt {3{x^2} - 6x - 6} .\sqrt {2 - x} \,\,\,\left( * \right)\)

Vì  \(x \le 1 - \sqrt 3 \) nên \(x - 1 < 0 \le \sqrt {3{x^2} - 6x - 6} .\sqrt {2 - x} \) do đó (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1

2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Chứng minh: \(\frac{1}{{{x^2} + 2yz}} + \frac{1}{{{y^2} + 2zx}} + \frac{1}{{{z^2} + 2xy}} \ge 1\)

Đặt x² + 2xy = a; y² + 2zx = b; z² + 2xy = c

\( \Rightarrow a + b + c = {(x + y + z)^2} = 9\) và a > 0; b > 0; c > 0

Xét \((a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 9 + {\left( {\sqrt {\frac{a}{b}}  - \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {\frac{a}{c}}  - \sqrt {\frac{c}{a}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {\frac{b}{c}}  - \sqrt {\frac{c}{b}} } \right)^2} \ge 9\)

\( \Rightarrow 9(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 9 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 1 \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} + 2yz}} + \frac{1}{{{y^2} + 2zx}} + \frac{1}{{{z^2} + 2xy}} \ge 1\)