Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2019Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({\rm{P}} = \frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x}

Ta có: x, y, z > 0 nên \(\frac{{xy}}{z};\frac{{yz}}{x};\frac{{z{\rm{x}}}}{y} > 0\). Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

 \(\left. \begin{array}{l}
\frac{{xy}}{z} + \frac{{x{\rm{z}}}}{y} \ge 2x\\
\frac{{xy}}{z} + \frac{{y{\rm{z}}}}{x} \ge 2y\\
\frac{{xz}}{y} + \frac{{y{\rm{z}}}}{x} \ge 2z
\end{array} \right\} \Rightarrow 2.(\frac{{xy}}{z} + \frac{{{\rm{yz}}}}{x} + \frac{{xz}}{y}) \ge 2.(x + y + z)\) hay \({\rm{P }} \ge {\rm{ 2019}}\).

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 673 (thoả mãn).

Vậy: Min (P) = 2019 khi và chỉ khi x = y = z = 673.