Cho \(P\) là hợp các số tự nhiên liên tiếp từ \(1\) đến \(n\). Biết tổng các số từ \(1\) đến \(n\) là số tự nhiên có ba chữ số giống nhau. Hãy xác định số tự nhiên \(n\) và tổng các số đó.

Gọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau là \(\overline {aaa} \). \(\left( {1 \le n \le 9,\,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow P = \left\{ {1;\,\,2;\,\, \ldots ;\,\,n} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp \(P\) có \(n\) số hạng.

Suy ra: \(1 + 2 +  \ldots  + n = \left( {n + 1} \right) \times n:2\).

Theo đề bài ta có: \(1 + 2 +  \ldots  + n = \overline {aaa} \)

\( \Rightarrow \left( {n + 1} \right) \times n:2 = \overline {aaa}  = a \times 111 = a.3.37\)

\( \Rightarrow n.\left( {n + 1} \right) = 2.a.3.37\).

Vì số \(n.\left( {n + 1} \right)\) là số có ba chữ số nên \(n + 1 < 74\)

\( \Rightarrow n = 37\) hoặc \(n + 1 = 37\)

+ Với \(n = 37\) thì \(37.38:2 = 703\) (loại)

+ Với \(n + 1 = 37 \Rightarrow n = 36\) thì \(36.37:2 = 666\) (thỏa mãn)

Vậy \(n = 36\) và tổng các số đó bằng \(666\).

Chọn C.