Cho HS \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} & \mathrm{khi} & x>4\\ ax\text{+}\frac{\text{5}}{\text{4}} & \mathrm{khi} & x\le \text{4}\\ \end{array} \right.\), trong đó \(a\) là một hằng số đã biết. HS có giới hạn hữu hạn tại \(x=4\) khi và chỉ khi?

Ta có: \(\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)\(=\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}\)\(=\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{1}{4}\)

\(\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( ax+\frac{5}{4} \right)=4a+\frac{5}{4}\)

Hàm số có giới hạn hữu hạn tại \(x=4\) khi và chỉ khi:

\(\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{4}=4a+\frac{5}{4}\)\(\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}\)

Chọn C.