Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), \(\angle BAD = {60^0}\) và \(SA = SB = SD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) và độ dài \(SC\) theo thứ tự là:

Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), \(\angle BAD = {60^0}\) và \(SA = SB = SD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) và độ dài \(SC\) theo thứ tự là:
- A. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6};\,\,\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
- B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
- C. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6};\,\,\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
- D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3};\,\,\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Tam giác \(ABD\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAD = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABD\) đều.

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).

Lại có \(SA = SB = SD \Rightarrow SH \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = SH\).

Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(\Delta ABD\) đều cạnh \(a\)

\( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\(AC = 2AO = a\sqrt 3 \Rightarrow HC = AC - AO = a\sqrt 3 - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Trong tam giác vuông \(SAH\): \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\).

Trong tam giác vuông \(SHC\): \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Chọn C.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE